Ранг матрицы и определитель

[Unconnected]

$\begin{pmatrix} a+(n-1)b &a+(n-1)b &... &a+(n-1)b &a+(n-1)b \\ 2b-a-nb &b-nb &... &b-nb &b-nb \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ b-nb &b-nb &... &2b-a-nb &b-nb \\ b-nb &b-nb& ... & b-nb &2b-a-nb \end{pmatrix} $
Вот, после рецепта.. только что-то хорошее с первым столбцом не делал.

[ИСН]

UNDO
один шаг назад

[Unconnected]

Прибавляем все к первой:
$ \begin{pmatrix} a+(n-1)b &a+(n-1)b &... &a+(n-1)b &a+(n-1)b \\ b &a &... &b &b \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ b &b &... &a &b \\ b & b& ... & b &a \end{pmatrix}$

[ИСН]

ага
так-то лучше.
Теперь: какую строчку мы "хотели бы" иметь? какую строчку будет очень приятно вычитать из остальных?

[Unconnected]

Я не знаю, к чему мы хотим прийти, чтобы извлечь определитель, и соответственно не могу ответить..
Ну а чтоб приятно - b b b b b .....

[ИСН]

вооооот
так
а можно ли всю строку матрицы умножить на какое-то число? а что при этом случится с определителем?

[Unconnected]

Можно, ничего не будет с ним.. не изменится.

[ИСН]

даже если на 0?

[Unconnected]

Я думал над этим.. на 0, наверное, нельзя. Хотя вроде надо не саму строку умножать, а какую-то умноженную прибавлять (даже если это она сама и есть).

[Nemiroff]

Unconnected в сообщении #519875 писал(а):

Можно, ничего не будет с ним.. не изменится.

Хм. Можно взять матрицу 1 на 1. Умножить строку на число и проверить определитель. И увидеть, что он изменится.

[ИСН]

Разберитесь, короче, с этими операциями. Что можно, что нельзя, как меняется определитель. Потом продолжим разговор.

[Unconnected]

Умножение строки на число отличное от нуля,
Прибавление одной строки, умноженной на число, к другой строке,
Перестановка местами двух строк.

Вот так можно. Написано, что при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Определитель, наверное, тоже?

[svv]

Вот Вам игрушечная матричка: $A=\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ . Не секрет, что $\operatorname{det}A=14$.

Пусть "КИО" означает "Как изменился определитель"

Проделайте, пожалуйста, такие операции:
1) Умножьте первую строку $A$ на $3$. КИО?
2) Умножьте всю матрицу $A$ на $3$. КИО?
3) Прибавьте первую строку ко второй строке. КИО?
3а) Прибавьте первую строку ко второй, а потом вторую два раза к первой. КИО?
4) Переставьте строки. КИО?
Опыт бесценный.

P.S. В каждом задании берется исходная $A$, а не полученная на предыдущем шаге.

[Unconnected]

O_o во дела.. такое ИО!
1) изменился (увеличился в 3 раза)
2) Увеличился в 9 раз
3) О не И (только из-за 0, в другом случае мог бы и измениться..)
3а) А так не изменился O_o Мб, зависит от четности количества сложений..
4) О не И

[svv]

Третье -- проверьте для матрицы без нулевых элементов.
Четвертое --