Задача по теории функций

[fetch]

Эквивалентны ли в пространстве C[a,b] нормы ||f||c[a,b] и ||f||Lp(a,b), где p [1,бесконечность]

В случае с p бесконечность все ясно.

В случае если не бесконечность можно без проблем ограничить интеграл максимумом и таким образом получить одну из констант для удовлетворения эквивалентности... но что делать дальше и есть ли другой путь?

[Dan B-Yallay]

fetch в сообщении #518755 писал(а):

есть ли другой путь?

Есть хорошо известный пример последовательности непрерывных функций, сходящихся к тождественному нулю по интегральной норме и к разрывной функции по равномерной.

[ewert]

Пусть $f(x)=\frac1{x^{1/p}}$ и $q<p$. Тогда $\|f\|_p=+\infty$, при том что $\|f\|_q<+\infty$. Если теперь взять в качестве $f_n(x)$ функции $f(x)$, обнулённые на $[0;\frac1n]$, то $\|f_n\|_q$ с ростом $n$ так и будут оставаться ограниченными, в то время как $\|f_n\|_p$ будут уходить на бесконечность. Это и есть неэквивалентность.

[zhoraster]

Тема перемещена из Помогите решить/разобраться (М) в Карантин по следующим причинам:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать, можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math].

Исправьте все свои ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Также в качестве полезного чтения рекомендую Правила научного форума.