Плотность функции от случайной величины...теорвер.

[sytron]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Был бы рад пинку в правильном направлении, потому что как-то сам не могу дойти.
Задача: Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$. Найти плотность распределения случайной величины $\lbrace\xi\rbrace$ (дробная часть числа $\xi$).

Что пробовал: сначала мне подумалось, что здесь подвох, ведь функция дробной части - функция кусочно-линейная, а значит величина $\eta=g(x)=\lbrace\ x \rbrace$ имеет дискретное распределение и плотность для нее не существует. Вариант преподаватель отбраковала.

[ИСН]

Вы что понимаете под дискретным распределением?

[sytron]

ИСН в сообщении #518249 писал(а):

Вы что понимаете под дискретным распределением?

"Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений."
Я кажется осознал, что на периодичных промежутках $\lbrace \xi \rbrace$ ни разу не дискретна.
Но встает вопрос: плотность это производная от функции распределения. Для величины $\xi$ функция распределения известна, а вот что из себя представляет функция распределения для дробной части $\xi$?

[loldop]

Если пинок, то такой:
1.Если случайная величина имеет некое непрерывное распределение, то, если выбросить из множества значений случайной величины все целые числа, что произойдет?
2.Пусть величина имеет некое непрерывное распределение. Нужно оценить, как будет распределена дробная часть случайной величины. Пусть данное распределение - равномерное на $[0,2]$. Вопрос: Как распределена дробная часть?

[sytron]

loldop в сообщении #518315 писал(а):

Если пинок, то такой:
1.Если случайная величина имеет некое непрерывное распределение, то, если выбросить из множества значений случайной величины все целые числа, что произойдет?
2.Пусть величина имеет некое непрерывное распределение. Нужно оценить, как будет распределена дробная часть случайной величины. Пусть данное распределение - равномерное на $[0,2]$. Вопрос: Как распределена дробная часть?

1. Что-то мне подсказывает, что распределение на этом множестве значений перестанет быть непрерывным. Ну или оно останется непрерывным, просто для каждого целого числа вероятность будет равно нулю
2. Получается что так же, как и случайная величина, но для точек 1 и 2 вероятность будет равна 0.

[--mS--]

Непонятное что-то вы пишете в каждом из пунктов. Давайте вернёмся к

sytron в сообщении #518314 писал(а):

Для величины $\xi$ функция распределения известна, а вот что из себя представляет функция распределения для дробной части $\xi$?

Как следует искать функцию распределения? Определение знаете?

[ИСН]

sytron в сообщении #518328 писал(а):

1. Что-то мне подсказывает, что распределение на этом множестве значений перестанет быть непрерывным. Ну или оно останется непрерывным, просто для каждого целого числа вероятность будет равно нулю
2. Получается что так же, как и случайная величина, но для точек 1 и 2 вероятность будет равна 0.

У непрерывного распределения и так вероятность получения любого конкретного числа равна нулю.
А по второму - задумайтесь над областью значений. Какой может быть дробная часть числа?

[Евгений Машеров]

Просуммируйте по всем возможным значениям целой части.

[loldop]

2. Просто нарисуйте график дробной части $y=\{x\}$

[sytron]

--mS-- в сообщении #518335 писал(а):

Как следует искать функцию распределения? Определение знаете?

Определение - функция $F(x)$, определяющая для каждого значения $x$ вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее $x$.
Для $\xi$ функция распределения: $F_\xi(x) = \left \{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right $

ИСН в сообщении #518352 писал(а):

Какой может быть дробная часть числа?

От нуля, до единицы, не включая единицу.

loldop в сообщении #518473 писал(а):

2. Просто нарисуйте график дробной части

Нарисовал его почти первым делом, увидел что непрерывна на каждом участке, в целых значениях точка разрыва первого рода.

Евгений Машеров в сообщении #518399 писал(а):

Просуммируйте по всем возможным значениям целой части

Т.е. взять сумму от 0 до бесконечности по $x$ для последовательности $1-e^{-\alpha x}$?

[ИСН]

Да, так, только не так. Суммировать надо плотность тогда уж. И всё равно не так.

-- Чт, 2011-12-22, 18:53 --

Короче: перечислите все значения $\xi$, для которых $\{\xi\}=x$. И вот по ним суммируйте.

[sytron]

ИСН в сообщении #518543 писал(а):

Короче: перечислите все значения , для которых . И вот по ним суммируйте.

Так разве это не целые числа?

У меня ощущения, что все делается в одно действие, но я чего-то не вижу или неправильно понимаю какие-то базовые вещи.

[ИСН]

Перечислите, пожалуйста, все (ладно, можно не все: некоторые) значения $\xi$, для которых $\{\xi\}=0.5$. Целые ли это числа?

[_hum_]

sytron в сообщении #518539 писал(а):

Определение - функция $F(x)$, определяющая для каждого значения $x$ вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее $x$.

Или в более явном виде: для всякой с.в. $X$ значение ее функции распределения $F_X$ в произвольной точке $x$ равно вероятности события $A_{\leq x}$ = "с.в. $X$ приняла значение, меньше $x$". Ну, так вычислите для интересующей вас случайной величины $\eta = \{\xi\}$ вероятности соответствующих событий $A_{\leq y}$ - получите функцию ее распределения $F_\eta = F_\eta(y)$. А там уже и до плотности рукой подать.

[sytron]

ИСН в сообщении #518568 писал(а):

Перечислите, пожалуйста, все (ладно, можно не все: некоторые) значения $\xi$, для которых $\{\xi\}=0.5$. Целые ли это числа?

Не прав, не целые.
0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5...

_hum_ в сообщении #518570 писал(а):

вычислите для интересующей вас случайной величины $\eta = \lbrace \xi \rbrace$ вероятности

Как? Я понимаю, как вычислить вероятности для величины $\xi$, а для дробной величины не понимаю.