Плотность функции от случайной величины...теорвер.

[--mS--]

sytron в сообщении #518659 писал(а):

_hum_ в сообщении #518570 писал(а):

вычислите для интересующей вас случайной величины $\eta = \lbrace \xi \rbrace$ вероятности

Как? Я понимаю, как вычислить вероятности для величины $\xi$, а для дробной величины не понимаю.

Теперь скажите, что означает - в терминах $\xi$ - событие $\{\{\xi\} < 0,5\}$?

[sytron]

--mS-- в сообщении #518663 писал(а):

sytron в сообщении #518659 писал(а):

_hum_ в сообщении #518570 писал(а):

вычислите для интересующей вас случайной величины $\eta = \lbrace \xi \rbrace$ вероятности

Как? Я понимаю, как вычислить вероятности для величины $\xi$, а для дробной величины не понимаю.

Теперь скажите, что означает - в терминах $\xi$ - событие $\{\{\xi\} < 0,5\}$?

Это значит, что $\xi \in [i;i+0.5), i = 0, 1, 2, 3... $

[--mS--]

Ну так $\mathsf P(\{\xi\} < 0,5)$ посчитать можете?

[sytron]

--mS-- в сообщении #518674 писал(а):

Ну так $\mathsf P(\{\xi\} < 0,5)$ посчитать можете?

Видимо это будет $ \int^{0.5}_{0} \alpha e^{-\alpha x} dx$

А если просуммировать: $\sum\limits_{i=1}^\infty$ $ \int^{i+0.5}_{i} \alpha e^{-\alpha x} dx$

[--mS--]

sytron в сообщении #518682 писал(а):

Видимо это будет $ \int^{0.5}_{0} \alpha e^{-\alpha x} dx$

А если просуммировать: $\sum\limits_{i=1}^\infty$ $ \int^{i+0.5}_{i} \alpha e^{-\alpha x} dx$

Что из этого равно $\mathsf P(\{\xi\}<0,5)$?

Теперь ищите функцию распределения дробной части.

[sytron]

--mS-- в сообщении #518702 писал(а):

Что из этого равно $\mathsf P(\{\xi\}<0,5)$?

$\mathsf P(\{\xi\}<0,5) = \int^{0.5}_{0} \alpha e^{-\alpha x} dx$

--mS-- в сообщении #518702 писал(а):

Теперь ищите функцию распределения дробной части.

Да, я ее и попытался написать: $\sum\limits_{i=1}^\infty$ $ \int^{i+0.5}_{i} \alpha e^{-\alpha x} dx$
Верно?

[--mS--]

sytron в сообщении #518707 писал(а):

--mS-- в сообщении #518702 писал(а):

Что из этого равно $\mathsf P(\{\xi\}<0,5)$?

$\mathsf P(\{\xi\}<0,5) = \int^{0.5}_{0} \alpha e^{-\alpha x} dx$
Да, я ее и попытался написать: $\sum\limits_{i=1}^\infty$ $ \int^{i+0.5}_{i} \alpha e^{-\alpha x} dx$
Верно?

Её - это кого? Функцию распределения? В какой точке - в точке $0,5$? Т.е. последнее выражение равно $\mathsf P(\{\xi\}<0,5)$? Вы уж определитесь с ответом на вопрос выше, противоречащие друг другу вещи пишете и пишете, не останавливаясь!

Ладно, начнём с начала.

1) Дайте определение $F_{\{\xi\}}(x) = ?$

2) Запишите по определению $F_{\{\xi\}}(0,5) = ?$

3) Выразите, используя операции над событиями, событие $\{ \{\xi\} < 0,5 \}$ через события $A_i=\{\xi\in[i,\,i+0,5)\}$, $i=0,1,\ldots$.

[sytron]

--mS-- в сообщении #518725 писал(а):

1) Дайте определение $F_{\{\xi\}}(x) = ?$

Для всякой с.в. $X$ значение ее функции распределения $F_X$ в произвольной точке $x$ равно вероятности события $A_{\leq x}$ = "с.в. $X$ приняла значение, меньше $x$".

--mS-- в сообщении #518725 писал(а):

2) Запишите по определению $F_{\{\xi\}}(0,5) = ?$

$F_{\{\xi\}}(0,5) = 1-e^{-0.5\alpha}$

--mS-- в сообщении #518725 писал(а):

3) Выразите, используя операции над событиями, событие $\{ \{\xi\} < 0,5 \}$ через события $A_i=\{\xi\in[i,\,i+0,5)\}$, $i=0,1,\ldots$.

Вот тут не понимаю. Ведь событие $\{ \{\xi\} < 0,5 \}$ - это любое из событий $A_i$.

[sytron]

Рассуждая с самого начала и с учетом того, что написано в это топике, родилось вот такое:
Плотность показательного распределения случайной величины $\xi$ при $x\geqslant0$ равна $F_\xi (x) = \alpha e^{-\alpha x}$. Функция дробной части монотонна только на промежутках $[i;i+1),$ где $i = 0, 1, 2,.. $. Плотность распределения для $i$-го промежутка:
$ F_i (x) = \int^{i+x}_{i} \alpha e^{-\alpha x} dx = -e^{-\alpha x} \vert^{i+x}_{i} = e^{-\alpha i} - e^{-\alpha (i+x) }. $
Таким образом, плотность $\lbrace\xi\rbrace$:
$ F_{\lbrace\xi\rbrace} (x) = \sum\limits_{i=0}^\infty F_i(x) = \frac{e^{\alpha}-e^{\alpha-\alpha x}}{e^{\alpha}-1}. $

[_hum_]

sytron, может, тогда вернитесь в начала ТВ и прорешайте задачки на тему "операции над событиями". Наподобие:
1. Пусть $A, B, C$ - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из $A, B, C$
a) произошло по крайней мере одно из этих событий;
b) все три события произошли;
c) ни одно событие не произошло.

2. Пусть $\xi $ - некоторая случайная величина. Выразить
а) событие $A = $"$0 < \xi < 1$" через события $A_1 = $"$\xi < 1$", $A_2 =$ "$\xi > 0$";
b) событие $A =$ "$|\xi| > 1$" через события $A_1 = $"$\xi > 1$", $A_2 =$ "$\xi < -1$";
с) событие $A =$ "$\xi$ - четное" через события $A_k =$ "$\xi = k$", $k \in \mathbb{Z}$.

И, на всякий случай, чтоб потом не возвращаться, уделите внимание понятию несовместности событий и аддитивности вероятности.