составные квадратурные формулы более точны чем простые?

[Stotch]

обьясните плз за счет чего составные квадратурные формулы более точны чем простые???Это раздел вычисление интегралов,вот мы разбеваем на несколько частичных отрезков и к какждому применяем свое квадратурное правило,а за чсет чего повышается точность вычисления интеграла?????

[ewert]

Stotch в сообщении #515538 писал(а):

обьясните плз за счет чего составные квадратурные формулы более точны чем простые???

Они вовсе не более точны, они скорее менее точны. В том смысле, что у них формальный порядок точности ровно на единичку меньше. Но это -- сугубо формальность.

Однако Ваш вопрос, скорее всего, о другом и сформулирован категорически неверно. Дело не в том, что простые формулы "неточны", а в том, что они вообще совершенно непригодны для вычисления конкретных интегралов. Объяснение очень простое. Если пытаться применить к конкретному (не маленькому) промежутку интегрирования простую квадратурную формулу, то для достижения удовлетворительной точности понадобилось бы безумное количество узлов. И проблема при этом даже не столько в том, что сама формула безумно усложнится (в конце концов, машина -- она железная). Проблема в том, что таким путём в принципе желаемой точности не достичь. Ибо, во-первых, погрешность интерполяции вовсе не стремится к нулю при неограниченном возрастании порядка в типичных ситуациях. А главное: даже если и стремилась бы -- даже и это не помогло бы, т.к. с ростом степени интерполяционного многочлена патологически возрастает погрешность округления.

[Stotch]

А в формулах там как нибудь что бы нагляднее обьяснить это преподу,что мне ему сказать??

[ewert]

Stotch в сообщении #515579 писал(а):

что бы нагляднее обьяснить это преподу,что мне ему сказать??

Не знаю. Если препод и впрямь сообщил Вам, что, дескать, простые формулы "менее точны", чем составные -- то я бы поостерёгся с ним вообще общаться. А то обязательно чего бы нецензурного сформулировал.

Конкретнее. Гвозди забивают молотком. Бочки же, как известно, забивают апельсинами. Следует ли из этого, что молотки точнее апельсинов?...

Простые квадратурные формулы -- это лишь некоторый технический инструмент. Который потом может использоваться для разных других целей. Вот, в частности, и для построения по ним составных формул, которые уже позволяют действительно считать интегралы (простые формулы для вычисления интегралов совершенно не предназначены), но вовсе не только для этого. И говорить, что, дескать, составные формулы точнее простых или там наоборот -- бессмысленно абсолютно.

[Stotch]

http://www.apmath.spbu.ru/ru/structure/ ... /task6.pdf вот тут прочитаете там ясно написанно что точнее,так как этьо обьяснить??

-- Ср дек 14, 2011 23:53:08 --

там в 4 пункте

[ewert]

Stotch в сообщении #515622 писал(а):

http://www.apmath.spbu.ru/ru/structure/depts/is/task6.pdf вот тут прочитаете там ясно написанно что точнее,так как этьо обьяснить??

Разгильдяйством автора:

Цитата:

Основная идея метода заключается в том, что для повышения точности интегрирования отрезок $[a,b]$ делят на несколько частей, применяют избранную квадратурную формулу к каждой отдельной части и результаты складывают.

Эта формулировка (в том, что касается "повышения точности") совершенно никуда не годится. Невозможно повысить то, чего нет в принципе. А простая квадратурная формула сама по себе, применяемая к большому промежутку, никакой точностью и не обладает. Т.е. для неё невозможно придать хоть сколько-то точный смысл утверждению о том, что её значение мало отличается от истинного интеграла. Зато можно утверждать, что при стремлении длины промежутка к нулю её погрешность уменьшается много быстрее, чем значение самого интеграла. Именно по этой причине при стремлении к бесконечности количества отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования (и, соответственно, стремлении длин этих отрезков к нулю) суммарная погрешность для всего интеграла тоже будет стремиться к нулю.

Собственно, автор об этом далее и говорит, но не очень внятно. Вообще текст достаточно невнятный. В частности, там отсутствует (если не ошибаюсь) принципиальнейший факт: алгебраический порядок точности равен $m$ тогда и только тогда, когда её погрешность может быть оценена как $O(h^{m+2})$, но не может быть оценена через более высокую степень шага (естественно, для достаточно гладких функций общего вида). И то, что он маленький шаг зачем-то обозначает $H$ большим, взаимопониманию тоже не служит (тем более, что он сам в других местах употребляет для этого $h$, как и положено белому человеку).