Подпоследовательность
![$a_{k_n}$ $a_{k_n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/5/b1580c39b53c92a794eb73bb2bd5864382.png)
последовательности
![$a_n$ $a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/6512cbd0d448700a036bf3a691c37acc82.png)
задается возрастающей последовательностью целых положительных чисел
![$k_n$ $k_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/a/2ea72d3d339c54a48198d2d00f366dee82.png)
. Для доказательства того, что множество всех подпоследовательностей имеет мощность континуум, можно (как это обычно и делается в учебниках) задать соответствие между последовательностью
![$k_n$ $k_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/a/2ea72d3d339c54a48198d2d00f366dee82.png)
и двоичным представлением числа, положив в двоичном представлении числа на позициях
![$k_n$ $k_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/a/2ea72d3d339c54a48198d2d00f366dee82.png)
нули и единицы на остальных позициях.
Проще и полезней открыть учебник, где этот вопрос подробно освещен, чем задавать его на форуме.