Произведение, делящееся на сумму каждой пары

[Ktina]

(Оффтоп)

Знаю, что лёгкая. Знаю, что бить будете. Знаю, что, возможно, такая задача уже была тут. Но удержаться не могу, я просто без ума от задач такого типа

Найти четыре попарно различных натуральных числа, произведение которых делится нацело на сумму каждой пары этих чисел.
Можно ли найти множество из пяти или более чисел с тем же свойством?
* Число с самим собой - это тоже пара, хотя для решения это не важно

Извиняюсь за плохой перевод, на всякий пожарный добавляю оригинальный текст на английском:

Find four distinct positive integers the product of which is divisible by the
sum of every pair of them. Can you find a set of five or more numbers
with the same property?
(British Mathematical Olympiad, 1992)

[Руст]

Одинаковые не интересно. Можно взять любое четное число $n$ раз, произведение их всегда делится на $2n$.
Если числа образуют арифметическую прогрессию, то разных сумм пар будет всего $2n-3.$ и легче найти числа.
В общем случае берем произвольные $n$ натуральных числа $x_i$, вычислим $P=\prod_i x_i, G=gcd(x_i+x_j)$.
Умножим все числа $y_i=x_i*G$. Тогда $P'=PG^n, G'=G^2$ и $G'|P', n\ge 2$.

[Ktina]

Руст в сообщении #514957 писал(а):

Одинаковые не интересно. Можно взять любое четное число $n$ раз, произведение их всегда делится на $2n$.
Если числа образуют арифметическую прогрессию, то разных сумм пар будет всего $2n-3.$ и легче найти числа.
В общем случае берем произвольные $n$ натуральных числа $x_i$, вычислим $P=\prod_i x_i, G=gcd(x_i+x_j)$.
Умножим все числа $y_i=x_i*G$. Тогда $P'=PG^n, G'=G^2$ и $G'|P', n\ge 2$.

У меня вышло так:

Для четырёх чисел: берём числа 1, 2, 3 и 4. Их произведение равно 24, не делится ни на 2+3=5, ни на 3+4=7. Домножим каждое из чисел на 5*7=35. Имеем 35, 70, 105, 140, удовлетворяющие условию задачи.

Для n чисел: берём числа 1, 2, ..., n. Домножим каждое на (2n)!
Получим множество, удовлетворяющее условию задачи.