При каждом из значений параметра решить нер-во

[reformator]

При всех значениях параметра решить нер-во

$\log_{\frac{a^2+x^2}{2}}x\ge 1$

Вот что я попробовал сделать

ОДЗ

$x>0$

Перепишем нер-во в виде

$\dfrac{1}{\log_x{\frac{a^2+x^2}{2}}}\ge 1$

При $x=1$ исходное неравенство не имеет смысла.

$\dfrac{1}{\log_x{\frac{a^2+x^2}{2}}}\ge \dfrac{1}{\log_xx}$

Значит

$\log_x{\frac{a^2+x^2}{2}}\le \log_xx$

Рассмотрим 2 случая $0<x<1$ и $x>1$

1) $0<x<1$

(подробнее)

$\frac{a^2+x^2}{2}\ge x$

$a^2+x^2\ge 2x$

$x^2-2x+1-1+a^2\ge 0$

$(x-1)^2\ge 1-a^2$

Это неравенство имеет смысл при $a\in(-1;1)$

$|x-1|\ge \sqrt{1-a^2}$

$x> \sqrt{1-a^2}+1$

$x< 1- \sqrt{1-a^2}$

2) $x>1$

(подробнее)

$\frac{a^2+x^2}{2}\le x$

$a^2+x^2\le 2x$

$x^2-2x+1-1+a^2\le 0$

$(x-1)^2\le 1-a^2$

Это неравенство имеет смысл при $a\in(-1;1)$

$|x-1|\ge \sqrt{1-a^2}$

$1< x< 1+\sqrt{1-a^2}$

А при $a$, которые не принадлежат интервалу $(-1;1)$ нет решений?!

Правильно?!

[Someone]

reformator в сообщении #514548 писал(а):

ОДЗ

$x>0$

Там ещё одно условие есть.

reformator в сообщении #514548 писал(а):

При $x=1$ исходное неравенство не имеет смысла.

Почему же? Там всё благополучно. Но, правда, неравенство не выполняется, но это не означает, что оно "не имеет смысла".

reformator в сообщении #514548 писал(а):

$(x-1)^2\ge 1-a^2$

Это неравенство имеет смысл при $a\in(-1;1)$

Неверно. Оно не только имеет смысл, но ещё и решений целая куча.

reformator в сообщении #514548 писал(а):

$(x-1)^2\le 1-a^2$

Это неравенство имеет смысл при $a\in(-1;1)$

Опять путаете наличие смысла (то есть, существование всех выражений, входящих в неравенство) с наличием решений.

reformator в сообщении #514548 писал(а):

А при $a$, которые не принадлежат интервалу $(-1;1)$ нет решений?!

Правильно?!

Пр-моему, нет.

[spaits]

Someone в сообщении #514570 писал(а):

Там ещё одно условие есть.

Да, еще одно условие, ОДЗ найдена неверно.
Reformator, какое условие должно быть выполнено для базы логарифма? Дополните условия ОДЗ.
И еще вопрос. При какой базе логарифмическая функция убывающая, при какой базе - возрастающая? База содержит параметр. Найдите эти значения параметра.
Перерешайте, у Вас столько ошибок.

[reformator]

Someone в сообщении #514570 писал(а):

$x>0$ Там ещё одно условие есть.

Спасибо!

Точно, да $a^2+x^2=2$

Someone в сообщении #514570 писал(а):

Но, правда, неравенство не выполняется, но это не означает, что оно "не имеет смысла".
...
Это неравенство имеет смысл при $a\in(-1;1)$ Неверно. Оно не только имеет смысл, но ещё и решений целая куча.

Хорошо, буду знать!

reformator в сообщении #514548 писал(а):

Пр-моему, нет.

А что еще неправильно, кроме некорректной терминологии и ОДЗ?

-- 12.12.2011, 01:46 --

spaits в сообщении #514579 писал(а):

Someone в сообщении #514570 писал(а):

Там ещё одно условие есть.

Да, еще одно условие, ОДЗ найдена неверно.
Reformator, какое условие должно быть выполнено для базы логарифма? Дополните условия ОДЗ.
И еще вопрос. При какой базе логарифмическая функция убывающая, при какой базе - возрастающая? База содержит параметр. Найдите эти значения параметра.
Перерешайте, у Вас столько ошибок.

Ок, Спасибо!

$\log_ab$

ОДЗ

$a>0$ $b>0$ $a\ne 1$

При $0<a<1$ логарифм является убывающей функцией

При $a>1$ возрастающей.

Ошибку в ОДЗ исправил. А где еще ошибки, подскажите, пожалуйста!

[spaits]

Не равно $2$. Именно не равно, а Вы что пишете.
Вы неравенства должны написать относительно базы. Но я об этом уже писала.

[reformator]

spaits в сообщении #514585 писал(а):

Не равно $2$. Именно не равно, а Вы что пишете.
Вы неравенства должны написать относительно базы. Но я об этом уже писала.

Да, $a^2+x^2\ne 2$

[spaits]

База ведь не $a$.
Напишите неравенства путем.

[reformator]

spaits в сообщении #514589 писал(а):

База ведь не $a$.
Напишите неравенства путем.

$x>0$

$\dfrac{a^2+x^2}{2}>0$ (выполняется для любых $x$ и $a$)

$\dfrac{a^2+x^2}{2}\ne 1$

(Оффтоп)

Под базой вы понимаете основание логарифма?!

[spaits]

Да, основание логарифма.
Написанное Вами первое неравенство (в условиях ОДЗ) $x>0$ выполняется при любых $a$.
Но есть и второе условие: $x^2+a^2\ne2$. С учетом $x>0$ из этой формулы второе условие запишем в виде: $x\ne\sqrt{2-a^2}$.
Потом Вы сами уже рассмотрите два интервала - где основание логарифма больше $1$ и где оно меньше $1$ (условие, что основание логарифма больше $0$ выполняется при всех $x>0$, это Вы уже доказали). Ну, и составьте соответствующие неравенства с учетом того, что в одном интервале логарифмическая функция возрастающая, на втором - убывающая. Выразите $x$ через $a$. При этом не забывайте про условие $x>0$.
Потом исследуйте, при каких значениях $a$ имеются решения и напишите эти решения.

[ewert]

Не надо ничего гадать и ни о чём думать, задачка решается механически и по шаблону:

$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+x^2}2>1\\x>\frac{a^2+x^2}2\end{array}\right.\\ \\\left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+x^2}2<1\\x<\frac{a^2+x^2}2\end{array}\right.\end{array}\right.$$

(ну и $x>0$, конечно). На плоскости $a,x$ первая система задаёт пересечение внешности одной окружности с внутренностью другой, вторая -- наоборот. Надо честно на картинке всё это нарисовать и по рисунку выписать ответ.

[reformator]

Спасибо!

$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+x^2}2>1\\x>\frac{a^2+x^2}2\end{array}\right.\\ \\\left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+x^2}2<1\\x<\frac{a^2+x^2}2\end{array}\right.\end{array}\right.$$

$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} a^2+x^2>\big(\sqrt 2\big)^2\;\;\;\text{область желтая+синяя}\\ a^2+(x-1)^2<1\;\;\text{область синяя+красная}\end{array}\right.\\ \\\left\{\begin{array}{l}a^2+x^2<\big(\sqrt 2\big)^2\;\;\text{область зеленая}\\a^2+(x-1)^2>1\;\;\text{область розовая}\end{array}\right.\end{array}\right.$$

1-ый рисунок нас интересует пересечение желтый-синий с синий-красный.
Пересечение - синий.


2-ый рисунок -- нас интересует пересечение зеленой и розовой области. Пересечение -- пустое множество.



Нас интересует объединение этих двух рисунков. То есть все решения лежат в синей области, описываемой неравенством $a^2+(x-1)^2<1$

Правильно? (только сейчас заметил, что радиусы у кругов значительно отличасться должны, поэтому круг $x^2+y^2=2x$ находится только в правой полуплоскости)

-- 12.12.2011, 22:28 --

Есть предположение, что $\sqrt{2-a^2}<x< 1- \sqrt{1-a^2}$ при $a\in(-1;1)$

При $|a|\ge1$ решений неравенство не имеет...

[ewert]

У Вас как-то окружнички как-то неточно нарисованы. А это существенно.

[spaits]

Рисуя окружности, учтите величину радиуса второй окружности.
Кроме того, не учтено условие$x>0$. На $a$ такого ограничения нет.
В написанных Вами неравенствах ошибка. Одно неравенство в каждой системе строгое (то, которое определяет основание логапифма), второе должно быть нестрогим (согласно уравнению).
Если граница области не входит в решение, это надо показать и на чертеже штриховой линией.
И покажите на графике, где у Вас ось $x$, где ось $a$.
Из графика видно решение, графики необходимы, но ответ должен быть написан аналитически, то-есть формулой. Похоже, что эта задача из ЕГЭ.
Значения параметра $a$ обязательно должны быть указаны в ответе и для них указано решение, а также должны быть укызвны значения параметра, при которых неравенство не имеет решений.
Например, при $a=2 $ неравенство не имеет решений.

[Someone]

reformator в сообщении #514916 писал(а):

При $|a|\ge1$ решений неравенство не имеет...

Как насчёт $a=1{,}1$, $x=0{,}5$?

[spaits]

reformator в сообщении #514916 писал(а):

При решений неравенство не имеет...

Да, и при $a=1,2$ есть решения, например, $x=0,2$.

-- Пн дек 12, 2011 22:53:01 --

ewert в сообщении #514627 писал(а):

Не надо ничего гадать и ни о чём думать, задачка решается механически и по шаблону:

$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+x^2}2>1\\x>\frac{a^2+x^2}2\end{array}\right.\\ \\\left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+x^2}2<1\\x<\frac{a^2+x^2}2\end{array}\right.\end{array}\right.$$

(ну и $x>0$, конечно). На плоскости $a,x$ первая система задаёт пересечение внешности одной окружности с внутренностью другой, вторая -- наоборот. Надо честно на картинке всё это нарисовать и по рисунку выписать ответ.

ewert, это Вы ввели в заблуждение топикстартера, а он переписал у Вас. Данное неравенство нестрогое (знак $\geqslant$), поэтому в каждой системе неравенств второе неравенство нестрогое.