Вопросы по случайным процессам

[Kornelij]

Есть вот такие две задачи:
1. $\{{{\varepsilon }_{n}}|n\ge 1\}$ – последовательность белого шума. Найти спектральную меру для стационарного решения уравнения ${{\xi }_{n+1}}=\frac{1}{2}{{\xi }_{n}}+{{\varepsilon }_{n+1}}$.
2. Стационарная последовательность $\left\{ {{\xi }_{n}}|n\ge 1 \right\}$ имеет спектральную плотность $f(x)=|x|$. Найти спектральную плотность стационарного решения уравнения ${{\eta }_{n+1}}=\frac{1}{2}{{\eta }_{n}}+{{\xi }_{n+1}}$.
Подскажите, а как искать эти самые стационарные решения этих уравнений?

[profrotter]

Kornelij в сообщении #514206 писал(а):

2. Стационарная последовательность $\left\{ {{\xi }_{n}}|n\ge 1 \right\}$ имеет спектральную плотность $f(x)=|x|$. Найти спектральную плотность стационарного решения уравнения ${{\eta }_{n+1}}=\frac{1}{2}{{\eta }_{n}}+{{\xi }_{n+1}}$.

1. Вот это условие $n\ge 1$, вообще говоря, делает несколько сомнительным стационарность последовательности.
2. Если бы последовательность $\xi_n$ была известна, то стационарное решение уравнения можно было бы найти либо как общее решение записанного разностного уравнения при $n\to\infty$, либо просто как частное решение записанного уравнения. Это не ваш случай, так как вам задана случайная последовательность и её спектральная плотность мощности.
3. Последовательность $\eta_n$ получается путём преобразования последовательности $\xi_n$ линейной дискретной системой (ЛДС), описываемой разностным уравнением ${{\eta }_{n+1}}=\frac{1}{2}{{\eta }_{n}}+{{\xi }_{n+1}}$. Это означает, что спектральную плотность мощности последовательности в стационарном режиме $\eta_n$ можно найти путём умножения спектральной плотности мощности последовательности $\xi_n$ на квадрат амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) системы:

$$f_{\eta}(\omega)=|H(\omega)|^2f_{\xi}(\omega).$$

4. АЧХ ЛДС находится как модуль комплексной частотной характеристики (КЧХ) ЛДС. Для определения КЧХ соответствующей ЛДС запишем её разностне уравнение относительно детерминированных сигналов $y_n=\frac{1}{2}y_{n-1}+x_n$ и рассмотрим преобразование Фурье от его обеих частей: $Y(\omega)=\frac 1 2 Y(\omega)e^{-j\omega}+X(\omega)$, откуда для комплексной частотной характеристики системы получим $H(\omega)=\frac {Y(\omega)}{X(\omega)}=...$
5. Подробнее можно посмотреть в Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций / Авторы: А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьева, И.И. Гук. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. стр. 211-229.
6. Судя по вашим обозначениям вы должны пользоваться другим учебником. Но суть решения задачи отражена п.3. и заключается в том, что само стационарное решение уравнения вам не потребуется, да и не может быть найдено при случайном воздействии.

[Kornelij]

Ничего не понял... Что за Y, как его искать...

[profrotter]

Kornelij в сообщении #514649 писал(а):

Ничего не понял... Что за Y, как его искать...

Ничего не понял... Вы заглядывали в книжечку?