Решить уравнение

[Keter]

Решить уравнение:

$$(x+1)^5+(x+4)^4(x-1)+(x+1)^3(x-1)^2+(x+1)^2(x-1)^3+(x+1)(x-1)^4+(x-1)^5 = 0$$

Значится разделил я всё это на $(x-1)^5$ и сделал замену $\frac{x+1}{x-1} = t$

$t^5+\frac{(x+4)^4}{(x-1)^4}+t^3+t^2+t+1 = 0$

Дальше пока не придумал. Поможете?

[Sonic86]

а может опечатка?

[Keter]

Да сам вот думаю.... В интернете нашел задание Всеукраинской олимпиады 2010.

[myra_panama]

Keter в сообщении #512991 писал(а):

$t^5+\frac{(x+4)^4}{(x-1)^4}+t^3+t^2+t+1 = 0$

$t^5+t^4+t^3+t^2+t+1=0$

$t^6=1$
$t=\sqrt[6]{1}$

(Оффтоп)

$\sqrt[n]1=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}$ ($k=1,2,...$)

[Keter]

myra_panama в сообщении #513007 писал(а):

Keter в сообщении #512991 писал(а):

$t^5+\frac{(x+4)^4}{(x-1)^4}+t^3+t^2+t+1 = 0$

$t^5+t^4+t^3+t^2+t+1=0$

$t^6=1$
$t=\sqrt[6]{1}$

(Оффтоп)

$\sqrt[n]1=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}$ ($k=1,2,...$)

Что это значит? Я имею сказать, что я таки ничего не понял)

[myra_panama]

Чушь какая то написал , извиняюсь... ...
МОжет там опечатка?
///

[Praded]

ИМХО, там обычная очепятка.
А myra_panama привёл решение верно записанного уравнения. Там обе части нужно умножить на $(t-1)$.

[nnosipov]

Разумеется, опечатка, иначе имеем уравнение 5-й степени с группой Галуа $S_5$.

[Klad33]

Если опечатки нет, то приходим к полиному:

$6x^5+12x^4+98x^3+162x^2+9x-255=0$

Один действительный корень и 4 комплексных. Смог получить только приближенно.

$x_1 \approx 0.95278$

$x_{2,3}\approx -1.4056 \pm 0.9058 i$

$x_{4,5} \approx -0.07077 \pm 3.993 i$
----------------------------------------------------------------
Но скорее всего опечатка. Тогда полином проще:

$3x^5+10x^3+3x=0$

И корни простые:

$x_1=0$

$x_{2,3}=\pm \frac{i}{\sqrt{3}}$

$x_{4,5}=\pm i \sqrt{3}$

[Keter]

Скорее всего опечатка. Серьёзно в этом убедился после прочтения комментария nnosipov.

-- 08.12.2011, 19:27 --

Спасибо за старание Klad33. А как Вы посчитали корни, если нет опечатки?

[Коровьев]

myra_panama в сообщении #513034 писал(а):

Чушь какая то написал , извиняюсь... ...
МОжет там опечатка?
///

А почему чушь-то? И почему очепятка? Может где-то и ошибся, но
$t = e^{i\frac{{2\pi k}}{6}} ,k = 1,...5$
вполне удовлетворяет уравнению
$t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t = 0$
А значит и исходному при линейной замене
$\frac{x+1}{x-1} = t$
То бишь

$x = \frac{{t + 1}}{{t - 1}} = \frac{{e^{i\frac{{2\pi k}}{6}} + 1}}{{e^{i\frac{{2\pi k}}{6}} - 1}},k = 1,...5$


Но это не всё, надо ещё рассмотреть варианты, исходя из
$\frac{(x+4)^4}{(x-1)^4}= t^4$

[nnosipov]

Коровьев, ответ-то какой?

[Keter]

Ну... Если учесть, что это Всеукраинская ученическая олимпиада по математике для 10 класса, то это есть опечатка.

[Klad33]

Поскольку полином без свободного члена, то сокращаем на x (не забывая, что первый корень x=0) и решаем полином 4 степени. Я его разбил на два сомножителя методом неопределенных кэффициентов. Получил:

$(x^2+3)(3x^2+1)=0$

Остальное ясно...

[Коровьев]

nnosipov в сообщении #513091 писал(а):

Коровьев, ответ-то какой?

Да не, я тоже ошибся