Физический смысл бета-функции

[Шимпанзе]

Попытаюсь довести почти детективную историю до логического конца.

Существуют расхождения между ожидаемым (психологически) результатом и теорией вероятности. Возьмем самый простейший пример, бросание абсолютно правильной монеты. При каждом броске монеты вероятность выпадения орла ($po$) и решки ($pr$) одинаковые и равны 0.5. Даже при выпадении подряд ста «орлов» вероятность выпадения решки по классической теории вероятности не увеличивается. Ясно, что у монеты нет памяти, и она не знает, что выпало раньше , поэтому вроде бы очевидно, что вероятность при любых сериях выпадения остается равной 0.5, но в то же время, хорошо известно, что выигрывает тот игрок, который запоминает число выпадений орла и решки, предполагая , что частота их появления должна быть одинаковой и равномерной.

С вопросом как выйти из парадокса обратился вначале к математикам форума (topic48349.html), затем к экономистам(topic49410.html) , но те отфутболили опять к математикам. В итоге, попытался решить проблему сам.

Конечно, можно использовать все каноны математики, а именно: построить доверительный интервал и проверить статистическую гипотезу. Но стоит ли усложнять решение задачи, если такое решение наглядности не прибавит , тем более что в данном случае не проверяется правильность монеты.

Бросание монеты есть конкретный физический процесс, и потому мы можем избавиться от "дурной" математической бесконечности. Введя параметр N , получил соответствующую формулу - topic49410.html . Оказалось, что, если параметр N ( по сути выборка) определять исходя из предположения, что при 0.5N бросаниях решка ($nr$) выпадет хоть один раз, то формула сильно упрощается и нет необходимости определять сам параметр . (Так , например, опыт показывает, что при десятикратном бросании монеты, решка или орел выпадут по крайней мере один раз). Исходя из этого принципа получим на первый взгляд (!) убийственно простую и очевидную ( после того как ее получили) формулу:

$pr=\frac {no} {no+nr}$ (1)


И тут оказалось, что график этой функции



при небольшом числе бросаний монеты – до десяти - почти совпадает с графиком регуляризованной неполной бета-функции ( параметры функции приняты нестандартные):

$zr=I_{0.5}(nr,no) $ (2)





Как видим, вероятность появления решки определяется через частоту появления орла. И наоборот, вероятность появления орла определяется через частоту появления решки. Природа пытается соблюдать полную симметрию. Иначе говоря , формула (1), и бета-функция показывают «амплитуду колебания» вероятности в ту и другую сторону как колеблющаяся струна. Но если, по формуле (1) симметрия достигается плавно и струна способна отклониться как угодно далеко от нейтрального положения, то бета-функция нам показывает, что такое свободное беспредельное отклонение невозможно. Это особенно хорошо видно при выборке(бросании монеты) более 10.



Напрашивается аналогия с натянутым луком. Нельзя натягивать тетиву лука как угодно сильно, есть предел натяжения, при котором тетиву следует отпустить, так как ее дальнейшее натяжение не увеличит дальность полета стрелы, а грозит лишь одним, поломкой лука. Косвенно это видно из графика бета – функции. Поэтому априори, на мой взгляд, бета-функция ( в том виде как она приведена в формуле (2)) дает результаты с бросанием монеты точнее, чем формула (1).

[vicont]

Шимпанзе в сообщении #509416 писал(а):

Существуют расхождения между ожидаемым (психологически) результатом и теорией вероятности. Возьмем самый простейший пример, бросание абсолютно правильной монеты. При каждом броске монеты вероятность выпадения орла () и решки () одинаковые и равны 0.5. Даже при выпадении подряд ста «орлов» вероятность выпадения решки по классической теории вероятности не увеличивается. Ясно, что у монеты нет памяти, и она не знает, что выпало раньше , поэтому вроде бы очевидно, что вероятность при любых сериях выпадения остается равной 0.5, но в то же время, хорошо известно, что выигрывает тот игрок, который запоминает число выпадений орла и решки, предполагая , что частота их появления должна быть одинаковой и равномерной.

На эту ситуацию можно взглянуть немного по другому.
Монету можно представить игральной костью с двумя гранями. Пусть орел будет одно очко, решка - ноль очков.
Рассмотрим серию из десяти бросаний монеты. Поскольку результат каждого бросания монеты не зависит от результатов остальных бросаний, то такая серия эквивалентна случаю, когда десять одинаковых монет десять человек бросают одновременно. Тогда вариант, когда выпадет десять очков только один, а вариантов выпадения девяти очков - десять. Т.е. вероятность выпадения девяти очков в 10 раз выше вероятности выпадения десяти очков.
Когда в серии из десяти последовательных бросков девять первых дали по одному очку, то кажется, что идет речь о различии вероятности выпадения десяти очков и вероятности выпадения девяти очков. Это и есть "психологически ожидаемый результат".
Но на самом деле девять бросков уже отсеяли девять вариантов выпадения девяти очков. Остался только один вариант для девяти очков и один вариант для десяти очков. Т.е. 50:50.

А насчет "хорошо известно".... В одном из романов Олди есть эпизод, обыгрывающий то, что "как всем известно" и "на самом деле" есть две большие разницы.

Шимпанзе в сообщении #509416 писал(а):

Так , например, опыт показывает, что при десятикратном бросании монеты, решка или орел выпадут по крайней мере один раз

Это жизненный опыт показывает? А не считали вероятность выпадения десяти орлов? Может у вас просто не хватило терпения столько серий бросания монеты провести?

[Joker_vD]

Шимпанзе в сообщении #509416 писал(а):

Так , например, опыт показывает, что при десятикратном бросании монеты, решка или орел выпадут по крайней мере один раз

Вообще-то при десяти бросках монеты решка или орел выпадут десять раз.

[Emil89]

Насколько помню при стремление к бесконечно большому колличеству бросаний вероятность выпада решки (орла) будет 0,5? А откланение (незнаю как называется) будет стремится к нулю. Ктонить бесконечное колличество раз бросал? получилось у них равное колличество вероятность.
И помоему , чтобы пракически абсолютно одинаковая вероятность была минимум стороны должны быть абсолютно одинаковые?

[EEater]

Цитата:

Bond borrowed the chef's card and studied the run of the ball since the session had started at three o'clock that afternoon. He always did this although he knew that each turn of the wheel, each fall of the ball into a numbered slot has absolutely no connexion with its predecessor. He accepted that the game begins afresh each time the croupier picks up the ivory ball with his right hand, gives one of the four spokes of the wheel a controlled twist clockwise with the same hand, and with a third motion, also with the right hand, flicks the ball round the outer rim of the wheel anti-clockwise, against the spin.
It was obvious that all this ritual and all the mechanical minutiae of the wheel, of the numbered slots and the cylinder, had been devised and perfected over the years so that neither the skill of the croupier nor any bias in the wheel could affect the fall of the ball. And yet it is a convention among roulette players, and Bond rigidly adhered to it, to take careful note of the past history of each session and to be guided by any peculiarities in the run of the wheel.

(Бонд попросил у крупье карточку и изучил бег шарика в игре, начавшейся в три часа дня. Он всегда делал так, хотя знал, что каждый поворот колеса, каждое попадание шара в нумерованный слот не имеет абсолютно никакой связи с предысторией. Он был согласен, что игра начинается заново каждый раз, когда крупье берет шар из слоновой кости правой рукой, поворачивает той же рукой одну из четырех спиц колеса по часовой стрелке, и третьим движением, также правой рукой, запускает шар по внешнему ободу колеса против часовой стрелки, навстречу вращению.
...
И все же это обычай игроков рулетки, и Бонд твердо придерживался его, чтобы обратить внимание на историю каждой игры и ориентироваться на какие-то особенности в поведении колеса.)

Флеминг, "Казино Руайяль"

[Шимпанзе]

vicont в сообщении #509881 писал(а):

известно" и "на самом деле" есть две большие разницы.Шимпанзе в сообщении #509416 писал(а):Так , например, опыт показывает, что при десятикратном бросании монеты, решка или орел выпадут по крайней мере один раз

Это жизненный опыт показывает? А не считали вероятность выпадения десяти орлов? Может у вас просто не хватило терпения столько серий бросания монеты провести?

По крайней мере один раз, означает, что может и десять раз.

[Maxim Vlasov]

Цитата:

По крайней мере один раз, означает, что может и десять раз.

Извините, но в данном случае это означает не более девяти. Десять согласно утверждению не бывает.

[Шимпанзе]

Maxim Vlasov в сообщении #509967 писал(а):

Цитата:

По крайней мере один раз, означает, что может и десять раз.

Извините, но в данном случае это означает не более девяти. Десять согласно утверждению не бывает.

Разумеется.

[Mega Sirius12]

я заметил, что у Шимпанзе какое-то свое, оригинальное понимание вероятности
Так что советую ознакомиться с оным
Ого-го!

[Шимпанзе]

Интерес к этому вопросу на математическом форуме не иссякает, скорее , наоборот. И мне приходится отвечать « не по учебникам», что вызывает у местных математиков недоумение и негативную критику . Поэтому решил проверить приведенные выше формулы в Matlabe , используя псевдогенератор случайных чисел.

Число выигрышей делилось на число розыгрышей ( всего 193600).
По «моей формуле» «вероятность» выигрыша составила в среднем 0.5301, по формуле неполной бета-функции - 0.58752. «Классика» , естественно дает вероятность 0.5.
То есть чистый выигрыш составляет в первом случае 0.03 или 3% , во втором -8.7%. На удивление много, очень много. Большая загадка бета –функции, не имеющей прямого отношения к теории вероятности. Мне лично не понятно в чем тут дело...

(Оффтоп)

Может, у кого есть желание проверить мои выводы на практике, в другой программе, не в Matlabe ? Перед тем как начать «грабить» виртуальные казино? Или выходить в свет....

[Amw]

Шимпанзе в сообщении #701697 писал(а):

Перед тем как начать «грабить» виртуальные казино

Зачем же виртуальное? Поставьте дома рулетку, покрутите миллион раз, запомните числа на которые шарик попадал реже и езжайте в Лас-Вегас

-- 26.03.2013, 22:57 --

Шимпанзе в сообщении #701697 писал(а):

используя псевдогенератор случайных чисел.

Псевдо - это не показатель.

Шимпанзе в сообщении #701697 писал(а):

Число выигрышей делилось на число розыгрышей ( всего 193600).

Почему так мало? Триллионы надо...

[pohius]

Шимпанзе в сообщении #509970 писал(а):

Maxim Vlasov в сообщении #509967 писал(а):

Цитата:

По крайней мере один раз, означает, что может и десять раз.

Извините, но в данном случае это означает не более девяти. Десять согласно утверждению не бывает.

Разумеется.

А можно поинтересоваться почему?

[pohius]

То есть почему, скажем, орел не может выпасть 10 раз подряд?

[rustot]

my($o,$r)=(0,0);
for my $try (1..1000000) {
  ($o,$r) = rand(1) < 0.5 ? ($o+1,0) : (0,$r+1);
  print("$try $o $r\n"), last if $o == 10 || $r == 10;
}

430 0 10
394 10 0
1080 0 10
2299 0 10
290 0 10
771 0 10
194 10 0
1222 0 10
221 10 0
2603 10 0
2292 0 10
46 10 0

[Шимпанзе]

Не понял. Что за цифры? Где вета_функция?