Простая задачка на выигрыш

[Шимпанзе]

Берем исключительно правильную монетку, бросили ее $n$ раз . Выпало подряд $n$ решек. Собираемся бросить монетку еще раз. Вероятность выпадения орла по классике при любом броске равна 0.5. Но так ли это? Готов ли каждый поставить 50 на 50 , что при таком выпадении в следующий раз [$(n+1)$] выпадет опять решка?

[age]

Лично я готов по формуле Бернулли.

[Шимпанзе]

Посмотрите внимательно , формула Бернулли справедлива для исчисления вероятности до бросаний монетки $(n+1)$ раз. И показывает вероятность выпадения до бросания $n$ раз решки и один раз орла. У нас же другой , но самый интересный случай . Я задавал этот же вопрос здешним математикам, но они оказались математиками больше, чем любые математики. И умнее чем физики, экономисты, технари вместе взятые. Такое впечатление, что они никогда не были игроками ( даже в детстве) . Однако жизненная практика показывает , что выигрывает всегда тот, кто следит и запоминает , что выпадает в предыдущие броски камня за весь период игры и мысленно прикидывает что следует ожидать в следующем броске камня.

[epros]

Это зависит от того, во что Вы больше верите - в симметричность монетки или в статистику. Если в симметричность монетки, то забудьте про предыдущие бросания и ожидайте 50 на 50. Если же Вы априорно не уверены в монете и полагаетесь только на предыдущий опыт бросания ... что ж, в той же модели Бернулли (но для неизвестной вероятности выпадения решки) можно по формуле Байеса вывести оценку для вероятности выпадения решки. В частности, оценка по мат. ожиданию даст $\tilde{p} = \frac{n+1}{n+2}$.

[Шимпанзе]

epros в сообщении #486599 писал(а):

Это зависит от того, во что Вы больше верите - в симметричность монетки или в статистику. Если в симметричность монетки, то забудьте про предыдущие бросания и ожидайте 50 на 50.

Давайте снимем этот вопрос . Монетка совершенно правильная , подбрасывали ее 100 раз . Орел и решка выпали одинаковое число (50) раз .

epros в сообщении #486599 писал(а):

В частности, оценка по мат. ожиданию даст $ p= \frac{n+1}{n+2}$.

Похоже Вы ошиблись в формуле, что она нам дает?

[epros]

Шимпанзе в сообщении #486774 писал(а):

Монетка совершенно правильная

Если правильная и бросается "по честному", то по определению 50 на 50.

Шимпанзе в сообщении #486774 писал(а):

Похоже Вы ошиблись в формуле, что она нам дает?

Вроде правильная. Даёт она нам то, что если 100 раз выпала решка, то значит это неспроста, т.е. в следующий раз следует ожидать именно решку. Орёл всё ещё не исключается, но в среднем вероятности более 1/102 ему давать не стоит.

[Шимпанзе]

epros в сообщении #486777 писал(а):

Если правильная и бросается "по честному", то по определению 50 на 50.

По классическому "определению", понятно.

epros в сообщении #486777 писал(а):

Вроде правильная. Даёт она нам то, что если 100 раз выпала решка, то значит это неспроста, т.е. в следующий раз следует ожидать именно решку. Орёл всё ещё не исключается, но в среднем вероятности более 1/102 ему давать не стоит.

Ясно, но тогда эта формула не подойдет. Но у меня ощущение, что Вы все таки "врубитесь" в мой вопрос.

[mserg]

Припоминаю, я уже отвечал по этому вопросу. Но меня игнорируют

Есть схожая задача на продолжение последовательности чисел. Например, указать следующий член последовательности:
1, 4, 9, 16, …
Такая задача решается подбором модели («формулы» последовательности). Т.е. догадываемся, что $f_k=k^2$, а уже потом, используя модель, находим, что следующее число будет 25.

В Вашем случае, все то же самое, только нужно подобрать не простую модель, а вероятностную. У Вас модель, как и в случае продолжения последовательности, - неизвестна.
Если 100 раз подряд выпала решка, то наиболее простая вероятностная модель, которая соответствует этим экспериментальным данным, это «вероятность выпадения решки равна 1». Очевидно, что вероятность выпадения решки в 101 раз, согласно подобранной модели, равна 1. Но никто не обещает, что подобранная модель – «правильная». Просто модель «вероятность выпадения решки равна 1», так сказать, наиболее правдоподобна, наиболее «вероятна».

Таким образом, речь идет о подборе модели. И одной модели на все случае жизни не существует.

Более того, если даже удастся подобрать более-меннее адекватную имеющимся данным вероятностную модель, ее использование на практике (скажем в играх) может оказаться проблематичным. Поэтому чаще подбирают не вероятностную модель, а прямо стратегию игры и проверяют ее на исторических данных.

[Шимпанзе]

mserg в сообщении #486829 писал(а):

Припоминаю, я уже отвечал по этому вопросу. Но меня игнорируют

Не знаю кто Вас игнорировал.... Читаю Вас первый раз. На мой взгляд, это верно - надо подобрать модель. Некоторые соображения у меня на это счет были и есть, но формулу надо доработать. Что- то не то....
Да, поправка.
Модель не подбирается , а доказывается. А вот параметры модели подбираются в зависимости от задачи: экономической, технической, физической.

[epros]

Шимпанзе в сообщении #486779 писал(а):

Ясно, но тогда эта формула не подойдет. Но у меня ощущение, что Вы все таки "врубитесь" в мой вопрос.

Вопрос, к чему не подойдёт ... Так что пока не врубаюсь.

Шимпанзе в сообщении #486844 писал(а):

На мой взгляд, это верно - надо подобрать модель. Некоторые соображения у меня на это счет были и есть, но формулу надо доработать.

Ну так вопрос в том и состоит, какова Ваша модель. Если Вы исходите из того, что некто дюже хитрый специально подстраивал 100 выпадений решки, чтобы Вы в 101-ый раз поставили на решку (а тут-то он Вас и облапошит), то ставьте на орла, конечно.

mserg в сообщении #486829 писал(а):

Просто модель «вероятность выпадения решки равна 1», так сказать, наиболее правдоподобна, наиболее «вероятна».

Самое смешное, что эти рассуждения имеют строгий математический смысл. Действительно, p=1 - это оценка по максимуму правдоподобия. В то время как p=101/102 - это оценка по среднему (по мат. ожиданию).

[Шимпанзе]

Похоже, все же нашел простое решение ( учитывая новизну – видимо , решение достойно отдельной малюсенькой статьи как приложение к практическим задачам).
Пусть мы знаем, что при $N$ испытаниях абсолютно правильная решка выпадает в точности $n_{r0} =\frac N 2$ раз.
Проводим эксперимент, бросаем монету $n $ раз, допустим, у нас выпало $n_r << n_{r0} $ раз решка. Тогда в оставшихся $(N-n)≫0 $ бросаниях монеты у нас должна выпасть решка еще $(n_{r0}-n_r) $ раз. Следовательно, вероятность появления решки при следующем бросании будет равна:


$p=\frac{0.5- \frac{(n_r+1)} N} {1-\frac{(n+1)}N}$



По поводу параметра $N$. В экономических игровых задачах и физических экспериментах N, видимо, может быть принято равным $N\geqslant 20 -25$. В технических экспериментах $N\geqslant 100$.

[Хорхе]

Шимпанзе, подбросьте правильную монетку сто раз. Плачу сто рублей, если решка будет ровно в 50 подбрасываниях.

Ваша теория абсолютно бредова. Если бы при каждых ста подбрасываниях решка выпадала ровно 50 раз, то монета бы падала так: решка, орел, решка, орел, решка, орел, ...

[Yuri Gendelman]

Шимпанзе в сообщении #486863 писал(а):

Пусть мы знаем, что при $N$ испытаниях абсолютно правильная решка выпадает в точности $n_{r0} =\frac N 2$ раз.
Проводим эксперимент, бросаем монету $n $ раз, допустим, у нас выпало $n_r << n_{r0} $ раз решка. Тогда в оставшихся $(N-n)≫0 $ бросаниях монеты у нас должна выпасть решка еще $(n_{r0}-n_r) $ раз.

Попробую применить Вашу теорию "на практике":
1) Решка должна выпасть 25 раз из 50
2) Решка выпала 0 раз после 49 подбрасываний
3) Согласно Вашей теории, при последнем подбрасывании решка выпадет 25 раз...
Я ничего не напутал?
Нет, напутал! Должно быть:
3') При последнем подбрасывании монета выпадет решкой 25 раз и взлетит орлом 24 раза!
Вот теперь все.

-- Вт сен 27, 2011 12:29:46 --

Хорхе в сообщении #486966 писал(а):

Шимпанзе, подбросьте правильную монетку сто раз. Плачу сто рублей, если решка будет ровно в 50 подбрасываниях.

Не стоит рисковать. Даже событие с мерой 0 не является невозможным.

[Шимпанзе]

Хорхе в сообщении #486966 писал(а):

Ваша теория абсолютно бредова. Если бы при каждых ста подбрасываниях решка выпадала ровно 50 раз, то монета бы падала так: решка, орел, решка, орел, решка, орел, ...

А если не ровно 50 раз? А если при больших N стремится к 50%? А если чуть подумать и не хвататься за несущественные мелочи? А если все равно не понятно, ничем помочь не могу.

-- Вт сен 27, 2011 22:00:06 --

Yuri Gendelman в сообщении #486988 писал(а):

Шимпанзе в сообщении #486863 писал(а):

Пусть мы знаем, что при $N$ испытаниях абсолютно правильная решка выпадает в точности $n_{r0} =\frac N 2$ раз.
Проводим эксперимент, бросаем монету $n $ раз, допустим, у нас выпало $n_r << n_{r0} $ раз решка. Тогда в оставшихся $(N-n)≫0 $ бросаниях монеты у нас должна выпасть решка еще $(n_{r0}-n_r) $ раз.

Попробую применить Вашу теорию "на практике":
1) Решка должна выпасть 25 раз из 50
2) Решка выпала 0 раз после 49 подбрасываний
3) Согласно Вашей теории, при последнем подбрасывании решка выпадет 25 раз...
Я ничего не напутал?
Нет, напутал! Должно быть:
3') При последнем подбрасывании монета выпадет решкой 25 раз и взлетит орлом 24 раза!
Вот теперь все.

-- Вт сен 27, 2011 12:29:46 --

Хорхе в сообщении #486966 писал(а):

Шимпанзе, подбросьте правильную монетку сто раз. Плачу сто рублей, если решка будет ровно в 50 подбрасываниях.

Не стоит рисковать. Даже событие с мерой 0 не является невозможным.

А здесь я ничего не понял. Видимо, писал именно для Вас.

[age]

Ну вообще-то бросание орёл-решка при достаточном количестве бросков $x$ имеет строго нормальное распределение. Т.е. $\lim\limits_{x\to\infty}{P(50\%/50\%)}\to\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$. Поэтому если выпало 100 решек подряд, то вероятность орла в 101-м броске можно считать:
$1-\varphi\left(\dfrac{100-101\cdot0.5}{\sqrt{101\cdot0.25}}\right)=1-\varphi(9.85)=1$

$\varphi$ - функция Лапласа

Но более точно - это вероятность того, что из 101 бросков выпадет 100 решек. Реально же вероятность будет снова 0,5.

-- Ср сен 28, 2011 02:01:45 --

Шимпанзе, я так понял предлагает поискать балансировку между этими двумя результатами. Предлагаю как вариант тупо $\dfrac{1+0.5}{2}=0.75$