"Кривое" уравнение прямой! Проекция точки на прямую

[Andrei94]

Есть точка $M_0(7;-2;3)$

Прямая задана уравнением $(\vec r - \vec x_1)\times \vec x_2=\vec 0$

$\vec x_1=(2;1;7)$

$\vec x_2=(-3;7;1)$

1) Найти проекцию точки $M_0$ на прямую.

2) Найти расстояние от точки до прямой

Предполагаю, что $\vec r$ - направляющий вектор прямой

Я записал, что $\vec r \times \vec x_2=\vec x_1\times \vec x_2$

Нашел произведение $\vec x_1\times \vec x_2=(-48;-23;17)$

Обозначил координаты $\vec r=(x,y,z)$

$\vec r \times \vec x_2=\vec i(y-7z)-\vec j(x+3z)+\vec k(7x+3y)$

Оказалось, что система не имеет единственного решения

$$\begin{cases}y-7z=-48,\\ x+3z=23\\ 7x+3y=17,\end{cases}$$

Как дальше быть?

-- 28.11.2011, 23:28 --

Может $\vec r=\vec x_1$ и все?

А как быть дальше? Ведь направляющий вектор не задает прямую однозначно...

[ИСН]

Где в Ваших действиях используются координаты точки? Или они не нужны, что ли?

[Someone]

Andrei94 в сообщении #509404 писал(а):

Предполагаю, что $\vec r$ - направляющий вектор прямой

Нет, это что-то другое... Если бы это был направляющий вектор, это называлось бы уравнением направляющего вектора, а не уравнением прямой (кстати, направляющий вектор прямой тоже не единственный).

[Andrei94]

ИСН в сообщении #509408 писал(а):

Где в Ваших действиях используются координаты точки? Или они не нужны, что ли?

Конечно, нужны! Если бы прямая задавалась иначе (как прямая, проходящая через 2 точки, параметрически или как пересечение плоскостей), то можно было бы задумываться о том -- как делать проекцию. А в таком виде - неочевидно -- что же делать? Что такое $\vec r$?

-- 29.11.2011, 01:16 --

Someone в сообщении #509411 писал(а):

Если бы это был направляющий вектор, это называлось бы уравнением направляющего вектора, а не уравнением прямой (кстати, направляющий вектор прямой тоже не единственный).

Хорошо, спасибо! А что это тогда за $\vec r$?!
В каком направлении мыслить?

[Someone]

А в уравнении прямой какие переменные присутствуют?

[Andrei94]

Someone в сообщении #509432 писал(а):

А в уравнении прямой какие переменные присутствуют?

В уравнении прямой присутствуют переменные $x,y,z$

[Someone]

А что они означают?

И что вместо них присутствует в том уравнении, которое Вам задано?

[Andrei94]

Someone в сообщении #509440 писал(а):

А что они означают?

И что вместо них присутствует в том уравнении, которое Вам задано?

Должно быть $\vec r=(x,y,z)$? (правда не знаю -- чем это может помочь)

[Someone]

А самый важный вопрос проигнорировали. Что такое - эти самые $x,y,z$?

[Andrei94]

Someone в сообщении #509444 писал(а):

А самый важный вопрос проигнорировали. Что такое - эти самые $x,y,z$?

Координаты любой точки, принадлежащей прямой! Видимо $\vec r$ -радиус-вектор

[vvvv]

Однородная система, найденная вами, из трех уравнений представляет параметрическое уравнение заданной прямой.
Разрешите эту систему относительно ( например z) и получите это параметрическое уравнение.
Далее зпаишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно заданной прямой, используя для этого направляющий вектор прямой.Затем решите систему из трех уравнений (любые два из из найденной вами системы и уравнение выше указанной плоскости) и найдете точку пересечения прямой и плоскости - эта точка и будет проекцией
точки M0 на заданную прямую.Как найти расстояние - понятно.

[Andrei94]

Спасибо, а что в качестве параметра взять? $x$ или $y$.?

-- 29.11.2011, 03:48 --

(бред)

$$\begin{cases} y-7z=-48,\\ x+3z=23\\ 7x+3y=17,\end{cases}$$

$$\begin{cases} 7z=y+48,\\ 3z=23-x\\ 3y=17-7x,\end{cases}$$

$$\begin{cases} z=\frac{y+48}{7},\\ z=\frac{23-x}{3}\\ y=\frac{17-7x}{3},\end{cases}$$

$$\begin{cases} z=\frac{\frac{17-7x}{3}+48}{7},\\ z=\frac{23-x}{3}\\ y=\frac{17-7x}{3},\end{cases}$$

$$\begin{cases} z=\frac{{161-7x}}{21},\\ z=\frac{23-x}{3}\\ y=\frac{17-7x}{3},\end{cases}$$

[vvvv]

Маткад у меня взял z

[Andrei94]

vvvv в сообщении #509464 писал(а):

Маткад у меня взял z

Ой, я сейчас написал бред, исправлю! Возьму $z$ за параметр

-- 29.11.2011, 03:55 --

$z=t$ (так привычнее)

$$\begin{cases} y=7t-48,\\ x=23-3t\\ z=t \end{cases}$$

Направляющий вектор данной прямой $(7;-3;1)$

[vvvv]

Andrei94 в сообщении #509465 писал(а):

vvvv в сообщении #509464 писал(а):

Маткад у меня взял z

Ой, я сейчас написал бред, исправлю! Возьму $z$ за параметр

Что значит "возьму t за параметр" ? Нужно брать или х или у или z , после разрешения системы можете переобозначить принятую переменную за параметр любой буквой или словом

Выше вы написали все верно.