"Кривое" уравнение прямой! Проекция точки на прямую

[Andrei94]

Уравнение плоскости, о которой вы писали, перпендик. данной прямой и проходящей через точку $M_0(7;-2;3)$

$7(x-7)-3(y+2)+z-3=0$

$7x-3y+z-58=0$

Подставим $x,y,z$ из параметрических представлений

$$\begin{cases} y=7t-48,\\ x=23-3t\\ z=t \end{cases}$$

Получим:

$7(7t-48)-3(23-3t)+t-58=0$

$49t-336-69+9t+t-58=0$

$59t=463$

$t=\frac{463}{59}$

Подставив $t$ в параметрическое представления -- получим координаты проекции?

Правильно?

[vvvv]

Перепутали координаты направляющего вектора х и у.
Выше я писал - для нахождения точки пересечени прямой и плоскости - берите любые два уравнения из самой первой вашей системы и последнее уравнение плоскости (только его нужно исправить)

Можно было как у вас, только правильно

[Andrei94]

vvvv в сообщении #509469 писал(а):

Перепутали координаты направляющего вектора х и у.
Выше я писал - для нахождения точки пересечени прямой и плоскости - берите любые два уравнения из самой первой вашей системы и последнее уравнение плоскости (только его нужно исправить)

Можно было как у вас, только правильно

Ок, спасибо, исправляю)

Уравнение плоскости, о которой вы писали, перпендик. данной прямой и проходящей через точку $M_0(7;-2;3)$

$-3(x-7)+7(y+2)+z-3=0$

$-3x+7y+z+32=0$

Подставим $x,y,z$ из параметрических представлений

$$\begin{cases} y=7t-48,\\ x=23-3t\\ z=t \end{cases}$$

Получим:

$7(7t-48)-3(23-3t)+t+32=0$

$49t-336-69+9t+t+32=0$

$59t=373$

$t=\frac{373}{59}$

[vvvv]

Верно

[Andrei94]

vvvv в сообщении #509472 писал(а):

Верно

Спасибо! Только число какое-то странное, дробь некрасивая)

[vvvv]

Главное, что правильно.

[vvvv]

Впрочем, уравнение прямой в параметрическом виде можно было не находить.
Из самой первой системы, используя любые две плоскости, найти направляющий вектор для плоскости перпендикулярный заданной прямой.
Записать уравнение этой плоскости и затем решить систему из трех уравнений - получим проекцию точки М0
Так по-короче.

[Andrei94]

vvvv в сообщении #509516 писал(а):

Впрочем, уравнение прямой в параметрическом виде можно было не находить.
Из самой первой системы, используя любые две плоскости, найти направляющий вектор для плоскости перпендикулярный заданной прямой.
Записать уравнение этой плоскости и затем решить систему из трех уравнений - получим проекцию точки М0
Так по-короче.

вы имеете ввиду эти 2 вектора?

$\vec x_2=(-3;7;1)$

$\vec x_1\times \vec x_2=(-48;-23;17)$

Их векторное произведение будет направляющим вектором прямой?

[vvvv]

Нет. (0;1;-7) и (-1;0;-3)
А первым способом задачу дорешали? Координаты проекции т. М0 и расстояние от т.М0 до прямой нашли?

[Andrei94]

vvvv в сообщении #509607 писал(а):

Нет. (0;1;-7) и (-1;0;-3)
А первым способом задачу дорешали? Координаты проекции т. М0 и расстояние от т.М0 до прямой нашли?

Координаты проекции

$(\frac{1001}{59};-\frac{221}{59};\frac{373}{59})$

$\rho = \sqrt\frac{34719}{59}\approx 24,258$

Правильно?

А почему такие ? (0;1;-7) и (-1;0;-3)

[vvvv]

Нет, неправильно подсчитано - ни координаты проекции, ни расстояние.
Ошибки в вычислениях - арифметике
Вектора берем из уравнений плоскостей в системе!

[Andrei94]

vvvv в сообщении #509630 писал(а):

Нет, неправильно подсчитано - ни координаты проекции, ни расстояние.
Ошибки в вычислениях - арифметике
Вектора берем из уравнений плоскостей в системе!

Ок, исправлюсь

-- 29.11.2011, 15:00 --

$(\frac{238}{59};-\frac{221}{59};\frac{373}{59})$

$\rho = \sqrt\frac{8014}{59}\approx 11,655$

[vvvv]

Проекция т. М0 найдена правильно, а расстоянеие -нет.
Вам же нужен не модуль проекции т.М0, а расстояние от т.М0 до ее проекции, а это и будет расстоянием т.М0 до заданной прямой.

[Andrei94]

vvvv в сообщении #509643 писал(а):

Проекция т. М0 найдена правильно, а расстоянеие -нет.
Вам же нужен не модуль проекции т.М0, а расстояние от т.М0 до ее проекции, а это и будет расстоянием т.М0 до заданной прямой.

Да, я так и считал!

$\rho=\sqrt{(7+238/59)^2+(-2+221/59)^2+(3-373/59)^2}=\sqrt\frac{8014}{59}\approx 11,655$

[alcoholist]

А почему так сложно решали?

Ведь параметрическое уравнение прямой можно сразу написать: $r(t)=x_1+x_2t$.

Расстояние от точки до ее проекции -- по учебнику:

$$ \frac{|(OM-x_1)\times x_2)|}{|x_2|}, $$

а саму проекцию $r(t_0)$ (это точка на прямой) находим из соотношения ортогональности

$$ (OM-r(t_0),x_2)=0,\mbox{т.е. }t_0=\frac{(OM-x_1,x_2)}{|x_2|^2}. $$