Частично упорядоченные множ-ва. Терминология.

[_hum_]

Пусть $(A, \leq)$ - частично упорядоченное множество, $a$ - некоторый его элемент.
Есть ли какой-нибудь термин для множества элементов $g \in A\setminus \{a\},$ удовлетворяющих следующему условию:
1) $g \leq a$
2) $ \forall\, g'\in A\setminus \{a\}\quad (g' \leq a) \Rightarrow (g' \leq g)$ ?

[Joker_vD]

Разъясните второе условие, пожалуйста, а то мне мерещится, что ваше множество пусто.

[VAL]

_hum_ в сообщении #504154 писал(а):

Пусть $(A, \leq)$ - частично упорядоченное множество, $a$ - некоторый его элемент.
Есть ли какой-нибудь термин для множества элементов $g \in A\setminus \{a\},$ удовлетворяющих следующему условию:
1) $g \leq a$
2) $ \forall\, g'\in A\setminus \{a\}\quad (g' \leq a) \Rightarrow (g' \leq g)$ ?

А вы верно определение записали.
А то получается, что интересующее Вас множество либо пусто, либо одноэлементно.
А тогда зачем говорить о каком-то множестве. Проще сказать, что у данного элемента есть единственный непосредственно предшествующий элемент (Ваше множество одноэлементно). Если непосредственно предшествующих много, либо их вовсе нет, Ваше множество пусто.

[_hum_]

Joker_vD в сообщении #504155 писал(а):

Разъясните второе условие, пожалуйста, а то мне мерещится, что ваше множество пусто.

Означает, что между $g $ и $a $ не может "всунуться" никакой $g'$. Грубо говоря, $g$ является непосредственно предшествующим по отношению к $a$.

2VAL

Пусть $A = \{0,1,2,3\}$, $R_{\leq} = \{ (0,3), (0,1), (1,3),(2,3), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3)\}$. Тогда для $a = 3 $ соответствующее $ G = \{1, 2\}$. Разве нет?

[Joker_vD]

Нет, $0\not\leqslant2$.

[bnovikov]

Определение из E.Harzheim, "Ordered Sets", стр.19:

If $a < b$ holds and if there is no element $x$ in $P$ which satisfies $a < z < b$, then $a$ is called a lower (or left) neighbor or immediate predecessor of $b$.

[VAL]

Joker_vD в сообщении #504164 писал(а):

Нет, $0\not\leqslant2$.

А еще "2" не меньше "1".
Таким образом, в указанном примере определенное ТС множество будет пустым.

[_hum_]

Joker_vD в сообщении #504164 писал(а):

Нет, $0\not\leqslant2$.

Вы наверное второе условие не совсем правильно понимаете. Словами оно звучит так:
для всякого $g' \in A\setminus \{a\}$ из того, что он сравним с a и меньше его с необходимостью должно вытекать, что он сравним с g и тоже меньше него.

В вашем же случае $0$ c $2$ не сравним, значит, второе условие для $2$ выполнено (импликация с ложной посылкой - истинна).

2bnovikov
А как множество всех таких соседей (непосредственно предшествующих элементов) называется?

[VAL]

bnovikov в сообщении #504167 писал(а):

Определение из E.Harzheim, "Ordered Sets", стр.19:

If $a < b$ holds and if there is no element $x$ in $P$ which satisfies $a < z < b$, then $a$ is called a lower (or left) neighbor or immediate predecessor of $b$.

Я и говорю: "непосредственно предшестыующий". Если такой элемент имеется и единственный он попадает по определение ТС. Иначе туда вообще ничего не попадает.

[bnovikov]

_hum_ в сообщении #504173 писал(а):

А как множество всех таких соседей (непосредственно предшествующих элементов) называется?

В Harzheim'е не нашел.

[_hum_]

VAL в сообщении #504176 писал(а):

bnovikov в сообщении #504167 писал(а):

Определение из E.Harzheim, "Ordered Sets", стр.19:

If $a < b$ holds and if there is no element $x$ in $P$ which satisfies $a < z < b$, then $a$ is called a lower (or left) neighbor or immediate predecessor of $b$.

Я и говорю: "непосредственно предшестыующий". Если такой элемент имеется и единственный он попадает по определение ТС. Иначе туда вообще ничего не попадает.

Но их же может быть несколько. Или я чего-то не догоняю. Возьмем дискретное частично упорядоченное множество. Его же в виде направленного ацикилического графа можно представить, где дуги отвечают за отношение предшествования. Так разве не может быть у одной вершины несколько смежных, которые и будут являться непосредственно предшествующими?

[VAL]

_hum_ в сообщении #504173 писал(а):

Вы наверное второе условие не совсем правильно понимаете. Словами оно звучит так:
для всякого $g' \in A\setminus \{a\}$ из того, что он сравним с a и меньше его с необходимостью должно вытекать, что он сравним с g и тоже меньше него.

В вашем же случае $0$ c $2$ не сравним, значит, второе условие для $2$ выполнено (импликация с ложной посылкой - истинна).

Не "переносите с больной головы на здоровую". Элемент "0" из Вашего примера вполне сравним с "3". А значит посылка импликации для него истинна.

Название для множества непосредственно предшествующих (правильного, а не того, которое определили Вы) где-то встречал. Но не помню где. Если надо могу поспрашать специалистов.

[Joker_vD]

Подставляем ноль во второе свойство на место $g'\colon 0 < 3 \Longrightarrow 0 \leqslant g$. Тогда в качестве $g$ нельзя взять $2$.

[_hum_]

VAL в сообщении #504185 писал(а):

Не "переносите с больной головы на здоровую". Элемент "0" из Вашего примера вполне сравним с "3". А значит посылка импликации для него истинна.

Можно, чисто для осознания своей ошибки, конкретно указать, в каком месте в моем определении не выполняются условия для элементов $g = 1, 2$ из приведенного ранее примера?

Цитата:

Название для множества непосредственно предшествующих (правильного, а не того, которое определили Вы) где-то встречал. Но не помню где. Если надо могу поспрашать специалистов.

Спасибо. Было бы неплохо.

Joker_vD в сообщении #504187 писал(а):

Подставляем ноль во второе свойство на место $g'\colon 0 < 3 \Longrightarrow 0 \leqslant g$. Тогда в качестве $g$ нельзя взять $2$.

Брр, почему же нельзя брать $g = 2$, ведь $(0 \leqslant 3 \Longrightarrow 0 \leqslant 2)$ - истинно.

[Joker_vD]

Пардон! $0\leqslant 3$ — истинно. $0\leqslant 2$ — ложно. Импликация $\text{И} \Longrightarrow \text{Л}$ — ложна.