формула Лейбница и факториал

[xenich]

В процессе нахождения n-ой производной по формуле Лейбница столкунулся с такой проблемой: коэфициенты у n-ой производной принимают вид:
$n_i $= 1, 3, 15, 105, 945, 10395.... Ясно, что $n_k=n_{k-1}(2k-1)$ и
$n_2=2k-1$
$n_3=(2k-3)(2k-1)$
$n_4=(2k-5)(2k-3)(2k-1)$
и т.д....
для нахождения больших $n_k$ вычисления становятся очень громоздкими, подозреваю, что можно как-то выразить через факториал.

[cyb12]

Вроде бы $n_k = (2k-1)!!$, а двойной факториал можно выразить через одинарный

[xenich]

двойной факториал? вы представляете, какие это числа?
для четвёртого члена :
(2*4-1)!=5040
5040!=...

[ИСН]

xenich, по дурацкой случайности название "двойной факториал" устоялось за тем, что у Вас есть, а не за тем, что Вы подумали.

[cyb12]

Двойной факториал -- это не два раза факториал
$n!!$ -- произведение натуральных чисел той же четности что и $n$ от 1 до $n.$ В вашем случае:
$n_k=\dfrac{(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}$

[xenich]

вот уж чего не знал того не знал. спасибо. а как же тогда записать двойной факториал в моём понимании?

[AKM]

$(n!)!$

[SpBTimes]

Вестимо $(k!)!$

[xenich]

а где можно поподробнее прочесть про двойной факториал? на википедии только формула

[Алексей К.]

Просто удобное обозначение, довольно частое, чтобы специально обозначить (вот и у Вас случилось). Что-то писать о нём особо нечего.

[arseniiv]

Мало того, есть по аналогии ещё и тройной факториал!!! Очень редко встречается. Может, вам, xenich, будет интересно это узнать.

[ИСН]

Алексей К. в сообщении #500325 писал(а):

Что-то писать о нём особо нечего.

Нет, ну кое-что всё-таки есть: как он выражается через обычный факториал. Хотя и банальность.

[coll3ctor]

двойной факториал это разве не произведение всех чётных чисел с 1 до конечного $n$?

[ИСН]

Ну да, оно и есть. Или нечётных - это смотря какое n.

[arseniiv]

(Оффтоп)

coll3ctor, какая невнимательность! Почти в начале написано же:

cyb12 в сообщении #500259 писал(а):

$n!!$ -- произведение натуральных чисел той же четности что и $n$ от 1 до $n.$