Проблема с рядом Фурье

[Mike1]

1 Разложить функцию

$$ f(x) =\begin{cases} \sin(x) ,&\text {если $0 \le x \le \pi$;}\\ -1 ,&\text{если $\pi<x<2\pi$;}\\ \end{cases} $$

Я уже разложил и вот что у меня получилось

$f(x) = \frac{2-\pi}{2\pi} + \sum^{\mathcal{1}}_{n=1} \frac{1}{2\pi} ( \frac {\cos(n\pi) +1}{1+n} + \frac {\cos(n\pi) +1}{1 - n})\cos(nx) + \frac{1}{\pi\cdot n} ( 1 - \cos(\pi n))\sin(nx) $

У меня вопрос. Если взять $n = 1$, то получается ошибка т.к. выражение
$\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}$ получается равным бесконечности? Или нужно брать $n = 2$ ?

[mihailm]

тут в Техе писать принято

[zhoraster]

Тема перемещена из Помогите решить/разобраться (М) в Карантин по следующим причинам:
- отсутствуют попытки собственного решения;
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать, можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math];
- не допускается выкладывать картинки, которые можно заменить текстом или формулами.

Исправьте все свои ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Также в качестве полезного чтения рекомендую Правила научного форума.

[synphara]

Я смотрел на ваши формулы когда они еще на тетрадном листке были написаны. На втором листке у вас сначало было выражение $f(x) = {\frac{a_0}_{2}} + \sum{a_n{\cos(nx)}+b_n{\sin(nx)}}$. Так вот шутка вся в том что это выражение обратного преобразования Фурье. Это когда вы уже найденный ряд гармоник складываете и вдруг, О НЕБО, у вас получается снова исходный сигнал . $f(x)$ в этом смысле это ваша исходная функция.

Вы просто не того Фурье стали обсчитывать. Ваша задача не собрать, а разложить исходный сигнал. В выражении которое я привёл это задача сводится к тому что бы найти коэффициенты $a_n$ и $b_n$, где $n$ у вас номер гармоники. Ищите в учебнике по которому учитесь формулы начинающиеся с $a_n=$, $b_n=$, $a_0=$. Там надо будет проинтегрировать, вставив соответствующую функицию под интеграл, а область где эта функция существует даст вам пределы для интегрирования.

...единственно, что в учбенике у вас может быть Фурье в комплексной форме, тогда эти $a_n=$, $b_n=$ могут быть собраны в один коэффициент.

[AKM]

Mike1 в сообщении #494693 писал(а):

Если взять n=1, то получается ошибка... Или нужно брать n=2 ?

Нужно брать их все, и 1, и 2, и 3, и 4, и 99, и...
Обнаруженная Вами некорректность скорее всего означает: надо перепроверить и поискать ошибку при вычислении конкретно того коэффициента (и не переползла ли ошибка в другие коэффициенты). Приведите, что ли, подробности вычисления $a_1$ (ну, лично мне тему лень вспоминать).

[Mike1]

А правильно ли я построил график?

[synphara]

А почему ось X-ов не в радианах размечена? Синус какой-то кривой. В фотошопе рисовали?

[Mike1]

В матлабе

[synphara]

Аргумент синуса на 2ПИ домножьте. Тогда ось x будет в периодах вашей функции.

[Mike1]

А если $S_n(x) $ - частичная сумма, то

$S_1(x) = \frac{a_0}{2} + a_1\cos(x) + b_1\sin(x)$

$ S_3(x) = \frac{a_0}{2} + a_1\cos(x) + b_1\sin(x) + a_2\cos(2x) + b_2\sin(2x) + a_3\cos(3x) + b_3\sin(3x)$

Правильно?

[synphara]

Да, но ваша задача найти $a_n$ и $b_n$

[profrotter]

Mike1 в сообщении #494693 писал(а):

Если взять $n=1$ ... выражение $\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}$ получается равным бесконечности?

Извольте честно рассмотреть $\lim\limits_{x\to 1}\frac{\cos(\pi\cdot x)+1}{1-x}$. Хотя бы по правилу Лопиталя.

[Someone]

Какие-то странные советы тут дают. То ось абсцисс как-то иначе разметить, то какой=то предел по правилу Лопиталя вычислять...

Mike1, Ваша проблема возникла из-за того, что, вычисляя коэффициенты, Вы не обратили внимание на то, что при $n=1$ (как, впрочем, и при $n=0$) Ваше вычисление становится некорректным. Для $n=0$ Вы коэффициент $a_0$ вычисляли отдельно, потому что так было в тех примерах, которые Вы видели. Для $n=1$ коэффициенты $a_1$ и $b_1$ тоже вычислите отдельно, и никакой проблемы не будет.

[profrotter]

Someone в сообщении #495194 писал(а):

Какие-то странные советы тут дают. То ось абсцисс как-то иначе разметить, то какой=то предел по правилу Лопиталя вычислять...

Будьте любезны, скажите в чём вы видите странность?

Someone в сообщении #495194 писал(а):

Mike1, Ваша проблема возникла из-за того, что, вычисляя коэффициенты, Вы не обратили внимание на то, что при $n=1$ (как, впрочем, и при $n=0$) Ваше вычисление становится некорректным.

Что же там некорректного?

[synphara]

2Someone ваш ответ полностью коррелирует с нашими - добро пожаловать в наш клуб, так сказать. Дело в том что топикастер путает прямое и обратное преобразование Фурье. И в обратное пытается подставить функцию которую ему надо разложить. Вы же ему про раздельное вычисление коэффициентов гармоник, как будто это поможет ему их найти. Я просто всё хотел чтобы вопрошающий проявил волю и нашёл-таки в учебнике нормальную формулу п-я Фурье, под его задачу.

Касательно обратного преобразования Фурье в которое подставляют разлагаемую функцию - была серия в "South Park" в этом духе - про еду и про то что у человека из неё потом получается, только там пытались всё наоборот использовать. Ну или это как в выхлопную трубу бензин заливать.