Матан. Детские задачки=)

[vlad_light]

Подскажите, пожалуйста, как решать такое. Спасибо!
1. Правда-неправда
а) Если непустое подмн-во в $\mathbb R$ имеет инфинум, то оно ограничено (неправда)
б) Каждое непустое подмн-во в $\mathbb R$ имеет максимум (неправда)
в) Если $v$ - верхняя грань $S$ и $u<v$, тогда $u$ - не верхняя грань $S$ (неправда)
г) $w=\inf S$, $z<w$, тогда $z$ нижняя грань $S$ (правда)
д) Каждое непустое подмн-во в $\mathbb N$ имеет максимум (неправда)
е) Каждое непустое подмн-во в $\mathbb N$ имеет минимум (правда)
2. Доказать.
$v=\inf S$. Доказать, что $\forall \epsilon >0 \exist s\in S :v\leq s <v+\epsilon$
Думаю так: взять последовательность эл-ов $s_n\in S$, чтоб $s_n\to v$, а потом показать, что при заданном $\epsilon$ мы можем выбрать такой номер, чтоб всё это накрыть шаром. Так правильно?
3. Правда-неправда
а) $int S\bigcap bd S=\varnothing$ (неправда)
б) $bd S\subseteq S$(неправда)
в) $S$ - замкнуто$ \iff S=bdS$ (правда, как это доказать, намекните )
г) $x\in S \Rightarrow x\in bdS $ or $x\in intS$ (неправда)
д) $bdS=bdS^c$ (неправда)
е) $bdS\subseteq bdS^c$ (неправда)
4. Доказать
S - ограничено, $u=\sup S$:$u\notin S\Rightarrow u\in bdS$
Тут тоже взять последовательность?
5. Проверить на компактность с помощью покрытия.
а) $[0,1)$
б) $\mathbb N$
в) $\{\frac{1}{n},n\in\mathbb N\}$
Тут не знаю как делать. Догадываюсь, что в (а) должно быть что-то типа $T_n=[0,1-\frac{1}{n})$ и взять объединение по всем $n\geq 1$. Намекните для остальных.
6. Доказать по индукции
$s_1=1, s_{n+1}=\frac{n+1}{2n}s_n\Rightarrow s_n=\frac{n}{2^{n-1}}$
могу ли я тут везде подставить $s_n$ или надо по-другому?
7. Правда-неправда
а) $s_n\to s, s_n>0\Rightarrow s>0$ (правда)
б) $a_n,b_n$ - расходятся, тогда $a_n+b_n$ -расходятся (неправда)
в) $a_n,b_n$ - расходятся, тогда $a_nb_n$ -расходятся (неправда)
г) $a_n,a_n+b_n$ - сходятся, тогда $b_n$ -сходятся (правда)
д) $a_n,a_nb_n$ - сходятся, тогда $b_n$ -сходятся (неправда)
е) $a_n$ - неограничена, тогда $a_n$ расходится (неправда, $\{+\infty, 1,1/2, 1/3, ...\}$ подойдёт?)
8. Привести пример
а) немонотонной, Коши ($\frac{(-1)^n}{n}$)
б) монотонной, неКоши($n$)
в) ограниченой, неКоши($(-1)^n$)
9.
$s_1=1, s_{n+1}=\frac{1}{4}(s_n+5)$. Проверить на монотонность и ограниченность, найти предел. У меня получилось, что для монотонности нужно доказать, что $s_n<\frac{5}{3}$. Подскажите, как это доказать.

[myra_panama]

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

6. Доказать по индукции
$s_1=1, s_{n+1}=\frac{n+1}{2n}s_n\Rightarrow s_n=\frac{n}{2^{n-1}}$
могу ли я тут везде подставить $s_n$ или надо по-другому?

ну это просто как,
$\frac{s_{n+1}}{s_n}=\frac{n+1}{2n}$
Подставь здесь, n=1,2,3,.... и все будет как

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

7) У меня получилось, что для монотонности нужно доказать, что $s_n<\frac{5}{3}$. Подскажите, как это доказать.

Уже как то по старились ...

[vlad_light]

ничё не понял(( можно подробнее

[arseniiv]

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

6. Доказать по индукции
$s_1=1, s_{n+1}=\frac{n+1}{2n}s_n\Rightarrow s_n=\frac{n}{2^{n-1}}$
могу ли я тут везде подставить $s_n$ или надо по-другому?

Не совсем подставить. Чтобы доказать $\forall n \in \mathbb N \colon P(n)$ по индукции, надо доказать для двух случаев: базового и индукционного перехода. Имеем здесь:

База. Надо доказать, что верно $P(1)$.
$s_1 = 1 = \frac{1+1}{2 \cdot 1}$. Верно.

Переход. Надо доказать, что если верно $P(n)$, то верно и $P(n+1)$ [есть, правда, совершенно аналогичная схема доказательства с предположением истинности всех $P(1), P(2), \ldots, P(n)$, но, разумеется, она здесь не нужна].
Допустив, что $s_n = \frac n{2^{n-1}}$, получаем <ну а вот тут уже как раз подставляйте это в выражение для $s_{n+1}$>.

Т. е. я хотел сказать, что просто так заменить и получить верное равенство нельзя, надо ещё проверить соответствие формулы для $s_1$, а ещё не подставлять (в более сложных случаях) что-то не то ( ).

[xmaister]

(Оффтоп)

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

г) $x\in S \Rightarrow x\in bdS $ or $x\in intS$ (неправда)

$intS$-внутренность $S$?
А что такое $bdS$?

[vlad_light]

допустим $s_n=\frac{n}{2^{n-1}}$. Тогда $s_{n+1}=\frac{n+1}{2^{n+1-1}}=\frac{n+1}{2n}\frac{n}{2^{n-1}}=s_{n+1}$. Там всё посокращали и всё выполнилось. Так правильно?
как я понял, там инт - мн. вн. точек, а бд - мн. предельных точек.

[arseniiv]

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

У меня получилось, что для монотонности нужно доказать, что $s_n<\frac{5}{3}$. Подскажите, как это доказать.

Кстати, по индукции! $1$ заведомо меньше $\frac53$. А теперь покажите, что если $s_n < \frac53$, то и $s_{n+1}$ тоже.

-- Сб окт 22, 2011 21:44:20 --

vlad_light в сообщении #495124 писал(а):

Там всё посокращали и всё выполнилось. Так правильно?

Да, только для корректности надо это написать справа налево. Вы же начинаете из определения через $s_n$, и потом уже получаете то, которое нужно доказать.

[vlad_light]

Пасиб! А про покрытия подскажете?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Не подскажу. Я, наверно, не знаю, что это (или не дошло). Кто-нибудь поумнее скоро заглянет, наверное.

[vlad_light]

Кстати, в 9-ом примере, пределом будет $\frac{5}{3}$?

(Оффтоп)

Цитата:

Не подскажу. Я, наверно, не знаю, что это (или не дошло).

Ну по определеню компактности: Компа́ктное множество — это множество, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. Так вот нужно предоставить покрытие, для которого нельзя будет выбрать конечное подпокрытие.

[arseniiv]

(Оффтоп)

У нас другое определение было. Только не помню какое. Зато помню теорему, которая говорит, что замкнутое и ограниченное будет компактным.

Да, $5/3$ как раз предел.

[xmaister]

Если речь идёт о естественной топологии на $\mathbb{R}$, то

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

в) $S$ - замкнуто$ \iff S=bdS$

Множество замкнуто в естественной топлогии тогда и только тогда, когда вместе с любой сходящейся последовательностью она содержит её предел

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

е) Каждое непустое подмн-во в $\mathbb N$ имеет минимум (правда)

$\mathbb{N}$ же вполне упорядочено отношение $<$.

-- 22.10.2011, 19:59 --

vlad_light в сообщении #495098 писал(а):

д) $bdS=bdS^c$

$bdS^c$- это значит дополнение?

[vlad_light]

$s^c$ значит дополнение к $s$.

[bot]

vlad_light в сообщении #495129 писал(а):

А про покрытия подскажете?

Всё просто: (а) пойдёт, только надо левую скобку открыть (интервалы должны быть) и левые границы уменьшить, чтобы нуль прикрыть. (б) покройте абы как, только не хапайте помногу зараз. (в) ну, как бы симметрично пункту (а)

[vlad_light]

Всем спасибо!