существует ли такой тетраэдр?

[zuhra]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить задачку. Существует ли тетраэдр, площади трех граней которого равны 5,6 и 7, а радиус вписанного шара равен 1. Если не ошибаюсь, задача Шарыгина. В задачнике не нашла.

[JMH]

Формулы для нахождения площадей граней и радиуса вписанного шара имеются в любом учебнике стереометрии, как Вы намерены с ними (формулами) поступить?

[zuhra]

ясно что такого тетраэдра не существует...можно доказать от противного или методом проекций или сечений....а чем лучше

[JMH]

zuhra в сообщении #494898 писал(а):

ясно что такого тетраэдра не существует...

А откуда это ясно?

[zuhra]

интуитивно

[JMH]

Вы пробовали начертить тетраэдер с указанными характеристиками, у Вас не получилось и Вы предположили, что такого тетраэдра не существует?

[zuhra]

нет не чертила, вписанный шар не будет касаться всех граней, радиус слишком мал..но как это доказать

[JMH]

Ну что же, Ваша геомтрическая интуиция, вероятно, значительно лучше моей - имея площади граней я бы никогда не смог интуитивно определить диапазон радиусов вписанного шара.

За неимением интуиции я бы записал уравнения площадей граней и радиуса вписанного шара, подставил имеющиеся числа и попытался бы решить полученную систему уравнений. Если бы получилось - ответ был бы "существует", если бы мне удалось доказать, что система несовместна - ответ был бы "нет".

[zuhra]

вот так я и сделаю..о результатах сообщу...спасибо

[VAL]

zuhra в сообщении #494921 писал(а):

нет не чертила, вписанный шар не будет касаться всех граней, радиус слишком мал..но как это доказать

Представьте себе треугольник и точку внутри него такую, что, соединив эту точку с вершинами, получим три треугольника площади которых равны 5, 6 и 7. Можно считать, что исходный треугольник - основание "тетраэдра", а точка внутри - его вершина. Получили "тетраэдр", с заданными площадями граней и радиусом вписанного шара, равным 0. А Вы говорите 1 - слишком маленький радиус!
Слишком большим он быть может, но уж точно не слишком маленьким.

PS: Если Вам не нравится "плоский тетраэдр", чуть-чуть приподнимите вершину над плоскостью основания.

[zuhra]

благодарю за совет

[zuhra]

нужно рассмотреть сечение, проходящее через центр шара паралельно одной из граней