Электродинамика Гельмгольца

[Зиновий]

Developer писал(а):

Зиновий писал(а):

Самое поразительное в этом сообщении, это то, что Вы, выступиший с критикой работы по электродинамике,...

Так, так, любопытно...
Где это я выступил?
С какой критикой?
И что это за "работа по электродинамике", которую я критиковал?

Вот здесь.
Судя по Вашим сообщениям, Вы вообще их плохо контролируете.
Они у Вас льются бесконтрольно и тут же Вами забываются.

Developer писал(а):

Зиновий писал(а):

Буду ждать конкретной формулы, или Ваших извинений за Ваши огульные высказывания.

Вы умный человек, Зиновий! Но ведь и я не дурак...
Буду действовать по прецедентам в паре типа "Ксанф - Эзоп" (and who is who what's question!).
А поэтому, как только Вы представите мне "конкретную формулу расчёта частоты излучения ЭМВ" хотя бы для тормозного ретгеновкого излучения (и я бы хотел бы увидеть конкретно формулу для "белого" излучения, а не характеристического для материала мишени), возникающего при налёте электронного пучка на массивную мишень, так я тут же и без обиняков верну её Вам для тормозного излучения пучка электронов в тормозящем электростатическом поле.

Даже и не мечтайте, что я поддержу Ваше "словесное перетягивание каната".
Просто, Ваша неспособность дать прямой и ясный ответ на заданный Варягом вопрос, является самым лучшим подтверждением правоты Варяга, утверждающего отсутствие излучения ЭМВ электроном, движущимся ускоренно в электростатических полях в вакууме, как противоречащего не только эксперименту, но и не имеющего должного теоретического обоснования.
А Вы можете заниматься любыми словесными излияниями, пока это не вызовет отторжение админа форума.

Добавлено спустя 4 минуты 20 секунд:

PSP писал(а):

Зиновий писал(а):

Более того, см. МЕХАНИКО- ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОНА И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА [2005г], окончание статьи и ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Интересно , вот Вы интерпретируете электрон как неточечный , а размеры его Вы оценивали ?
И линейную скорость вращения на его "экваторе" ?

А Вы рекомендованную Вам статью в 7 страниц уже прочитали и усвоили?
Там, как раз все это обсчитано и обо всем этом сказано.
Иначе, что мы будем обсуждать?

[Someone]

Рассмотрим заряд, движущийся прямолинейно с постоянным ускорением. Согласно принципу эквивалентности, данная ситуация равносильна покоящемуся заряду в однородном постоянном гравитационном поле. Из закона сохранения энергии следует, что во второй ситуации заряд не излучает. Поэтому в первой ситуации он тоже не излучает (по меньшей мере в системе отсчёта, связанной с зарядом; здесь наблюдается постоянное поле). Имеет ли смысл считать излучением какую-то часть переменного электромагнитного поля этого заряда, наблюдаемого в лабораторной системе отсчёта? Я не знаю.

Электродинамика и ОТО прекрасно согласованы друг с другом. Поэтому из уравнений электродинамики должно следовать, что, как минимум, в системе отсчёта, связанной с зарядом, никакого излучения нет.

Может быть, кто-нибудь напишет здесь точное решение уравнений Максвелла для равномерно ускоренного заряда?

Мне кажется, что все участники спора стали жертвой некритического восприятия утверждения "заряд, движущийся с ускорением, излучает". Как-то никому не приходит в голову, что характер и величина излучения существенно зависят от движения заряда, и в некоторых случаях излучение может отсутствовать.

[PSP]

Someone писал(а):

Может быть, кто-нибудь напишет здесь точное решение уравнений Максвелла для равномерно ускоренного заряда?

Прекрасно согласованы электродинамика и СТО. Насчёт ОТО не уверен.
Что касается точных решений, то чем плохи решения в форме потенциалов Ленарда-Вихерта?

[Зиновий]

PSP писал(а):

Someone писал(а):

Может быть, кто-нибудь напишет здесь точное решение уравнений Максвелла для равномерно ускоренного заряда?

Прекрасно согласованы электродинамика и СТО. Насчёт ОТО не уверен.

Электродинамика и ОТО не могут не быть "прекрасно согласованы", т.к. уравнения ОТО это просто переписанные в тензорной форме уравнения электродинамики с калибровкой Лоренца (уравнения четырех-потенциалов).
Абсурдна интерпретация в СТО и ОТО.
"Искривление 4-х пространства-времени" по 5-ой координате что ли, или куда?
Все пространственные координаты и параметр время уже задействованы.

PSP писал(а):

Что касается точных решений, то чем плохи решения в форме потенциалов Ленарда-Вихерта?

Ничем не плохи.
Только они являются решением краевой задачи "Поле покоящегося диполя Герца, запитанного переменным током" и никакого отношения не имеют к решению задачи "Поле ускоренно движущегося заряда".

[Developer]

Снова засучиваю рукава на поприще электродинамики Максвелла:
- я отдаю себе отчёт в том, что могу в пылу полемики или находясь под воздействием губительных для здороавья паров spiritus vini, неподумав, сказать какую-нибудь несусветную глупость или написать откровенную чушь, модераторы и админ деликатно мне укажут на это;
- но, вот, что любопытно. Излучение - это волновой процесс. А раз так, то энергия источника этого процесса в классике должна якобы передаваться непрерывно, переходя в энергию волнового поля. И надо было быть гениальным теоретиком физики Максом Планком (а не каким-нибудь там зачуханным Дивелопером), чтобы однажды и уже навсегда заявить, увы! друзья мои, энергия излучения корпускулами, носителями зарядов (в отличие от энергии излучения токов!!!!!) передаётся порциями, квантами и по очень простому закону $E=h\nu$.
И, когда 19 октября 1900 года на очередном заседании Немецкого физического общества экспериментаторы Генрих Рубенс и Фердинанд Курлбаум, докладывая о своих новейших и более точных измерениях спектра абсолютно чёрного тела, посетовали на то, ни одна из существующих теорий не может объяснить их результаты, именно Макс Планк предложил им воспользоваться его формулой.
Рубенс всю ночь напролёт сравнивал свои результаты с формулой Планка, а наутро он сообщил Планку о великолепном совпадении экспериментальных данных с формулой и поздравил Планка с успехом.
И ни тот, ни другой ещё и не догадывались, что стоят на пороге величайшего открытия нового закона природы...
А константе в этой формуле суждено было с тех пор и поныне, и во веки веков (и присно, и ныне, и во веки веков, Аминь!) носить имя её гениального создателя, Макса Планка.

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 10 секунд:

Зиновий писал(а):

Developer писал(а):

Зиновий писал(а):

Самое поразительное в этом сообщении, это то, что Вы, выступиший с критикой работы по электродинамике,...

Так, так, любопытно...
Где это я выступил?
С какой критикой?
И что это за "работа по электродинамике", которую я критиковал?

Вот здесь.
Судя по Вашим сообщениям, Вы вообще их плохо контролируете.
Они у Вас льются бесконтрольно и тут же Вами забываются.?

Ваши прицельные уколы именно в мою сторону вызывают у меня всё больший и больший интерес к Вашей незаурядной личности, Зиновий Исаакович, и особенно к Вашим концепциям теории и практики электромагнитного поля (к ним я ещё вернусь, ради бога, не беспокойтесь!).
Поскольку Вы не любите основоположников ни классической электродинамики - Джемса Максвелла, который не был нобелевским лауреатом в отличие, скажем, от Генриха Герца, ни квантовой электродинамики - Ричарда Фейнмана, нобелевского лауреата, я буду аппелировать к ещё одному лауреату нобелевской премии - солнцу нашей теоретической физики Льву Давыдовичу Ландау.
Вот какие типы излучений электромагнитных волн и решений для них (разумеется, в самом общем виде)он сформулировал в своей "Теории поля":
- электромагнитное поле системы зарядов на далёких от источника расстояниях,
- дипольное излучение,
- дипольное излучение с учётом столкновения частиц между собой,
- тормозное излучение на малых частотах,
- излучение с учётом кулоновского взаимодействия,
- квадрупольное и магнитно-дипольное излучение,
- поле излучения на близких расстояниях от системы источников излучения,
- излучение быстро движущегося заряда,
- магнитно-тормозное излучение в циклических ускорителях,
и, кроме того, Л.Д. Ландау рассмотрел сопутствующие этому процессы:
- торможение нерелятивистских частиц излучением,
- торможение излучением в релятивистском случае,
- спектральное разложение излучения в ультрарелятивистском случае,
- рассеяние электромагнитной волны свободными зарядами,
- рассеяние волн с малыми частотами,
- рассеяние волн с большими частотами.
И почти везде, где это было необходимо, решение основывалось на учёте запаздывающих потенциалов Лиенера-Вихерта, что также использовал позже в своих лекциях и Ричард Фейнман.

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Зиновий писал(а):

...Ваша неспособность дать прямой и ясный ответ на заданный Варягом вопрос, является самым лучшим подтверждением правоты Варяга, утверждающего отсутствие излучения ЭМВ электроном, движущимся ускоренно в электростатических полях в вакууме, как противоречащего не только эксперименту, но и не имеющего должного теоретического обоснования.

Признаю, что я, Дивелопер, по сравнению с великими, - червь, тлен, ничтожество...
А, что, Зиновий, теоретических представлений Ландау Вам маловато (см. выше)?

[Зиновий]

Developer писал(а):

Признаю, что я, Дивелопер, по сравнению с великими, - червь, тлен, ничтожество...
А, что, Зиновий, теоретических представлений Ландау Вам маловато (см. выше)?

Увас какое-то очень личностное восприятие физики.
Вам говоришь о физическом явлении, Вы же переводите разговор на ту или иную личность. Спрашиваю у Вас формулу, Вы начинаете перечислять имена физиков и бичевать себя за пьянство.
Даешь Вам выводы по экспериментальному факту, Вы начинаете перечислять заголовки параграфов из учебников.
У меня сложилось впечатление, что Вы перепутали форум и полагаете себя находящимся на литературном инет-сборище...
Пора бы уж и протрезветь.

[Developer]

Вы не боитесь, Зиновий, что я обнародую некоторые Ваши "физические формулы"?

[Someone]

Зиновий писал(а):

PSP писал(а):

Someone писал(а):

Может быть, кто-нибудь напишет здесь точное решение уравнений Максвелла для равномерно ускоренного заряда?

Прекрасно согласованы электродинамика и СТО. Насчёт ОТО не уверен.

Электродинамика и ОТО не могут не быть "прекрасно согласованы", т.к. уравнения ОТО это просто переписанные в тензорной форме уравнения электродинамики с калибровкой Лоренца (уравнения четырех-потенциалов).

Зиновий, я уже Вам пытался объяснить, что уравнения ОТО не имеют ни малейшего отношения к уравнениям электродинамики и электромагнитным 4-потенциалам в какой угодно калибровке. Нет в ОТО электромагнитных 4-потенциалов. Они появляются тогда, когда мы хотим описать электромагнитное поле, и не раньше. Сколько раз Вы можете повторять эту глупость?

Прежде, чем делать такие заявления, нужно хотя бы попытаться разобраться, о чём идёт речь. А для этого надо взять соответствующую литературу.

Зиновий писал(а):

Абсурдна интерпретация в СТО и ОТО.
"Искривление 4-х пространства-времени" по 5-ой координате что ли, или куда?
Все пространственные координаты и параметр время уже задействованы.

То же самое. Вы просто не понимаете, о чём идёт речь. Причём тут пятая координата? Речь идёт о внутренней геометрии. Она отличается от (псевдо)евклидовой, вот и всё.

Зиновий писал(а):

PSP писал(а):

Что касается точных решений, то чем плохи решения в форме потенциалов Ленарда-Вихерта?

Ничем не плохи.
Только они являются решением краевой задачи "Поле покоящегося диполя Герца, запитанного переменным током" и никакого отношения не имеют к решению задачи "Поле ускоренно движущегося заряда".

То же самое. Прежде, чем делать подобные заявления, хотя бы глянули в литературе, что такое потенциалы Лиенара - Вихерта. Они дают решение уравнений Максвелла для произвольно движущейся заряженной частицы.

PSP писал(а):

Прекрасно согласованы электродинамика и СТО. Насчёт ОТО не уверен.

Если с СТО электродинамика согласована, то с ОТО - тоже. В силу принципа эквивалентности, в ОТО локально выполняются законы СТО, а уравнения Максвелла локальные.

PSP писал(а):

Что касается точных решений, то чем плохи решения в форме потенциалов Ленарда-Вихерта?

Да ничем не плохи, просто мне некогда (и лень) было с ними разбираться, а потом ещё анализировать результат, что далеко не тривиально. Но сейчас я отыскал очень интересную статью:

В.Л.Гинзбург. Об излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда. УФН, 98, № 3 (1969), 569 - 585.

Там выписаны потенциалы Лиенара - Вихерта (точнее, электромагнитное поле) для произвольного движения заряда:

$$\vec E=\frac{e\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\left(R-\frac{\vec v\vec R}c\right)^3}\left(\vec R-\frac Rc\vec v\right)+\frac e{c^2\left(R-\frac{\vec v\vec R}c\right)^3}\left[\vec R\times\left[\left(\vec R-\frac Rc\vec v\right)\times\dot{\vec v}\right]\right]\text{,}$$

$$\vec H=\frac 1R[\vec R\times\vec E]\text{,}$$

где поля $\vec E$ и $\vec H$ в левой части берутся в точке наблюдения в момент времени $t$, а в правых частях равенств величины $\vec R$, $\vec v$ и $\dot{\vec v}$ относятся к "времени излучения" $t'=t-\frac{R(t')}c$, причём, вектор $\vec R$ проведён из точки нахождения заряда $e$ в точку наблюдения; скорость заряда $\vec v=\frac{d\vec R(t')}{dt'}$ и ускорение $\dot{\vec v}=\frac{d\vec v}{dt'}$; $R=|\vec R|$ и $v=|\vec v|$ (надеюсь, я правильно понял формулы, написанные в статье).

Далее В.Л.Гинзбург пишет, что первый член в приведённой формуле представляет собой поле заряда, движущегося со скоростью $\vec v$. Второй же член представляет собой поперечное поле, убывающее как $\frac 1R$ и представляющее собой поле некоторой электромагнитной волны, и это слагаемое он называет далее излучением заряда. Далее он отмечает, что это определение шире обычного определения электромагнитного излучения, которое определяется в волновой зоне, и что поле, описываемое вторым членом, вообще говоря, не является полем электромагнитного излучения, распространяющегося со скоростью света.

Поток энергии электромагнитного поля через сферу, окружающую заряд, оказывается равным

$$P=\frac{d\mathcal E}{dt'}=\frac 23\frac{e^2}{c^3}\frac{\dot{\vec v}\dot{\vec v}-\left(\frac{\vec v\dot{\vec v}}c\right)^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}\text{.}$$

В случае движения с постоянным ускорением $w$ (ускорение измеряется в инерциальной системе отсчёта, в которой заряд имеет скорость $v=0$), получается $P=\frac{2e^2w^2}{3c^3}$. Таким образом, ускоренно движущийся заряд излучает в том смысле, что второй член в приведённой выше формуле не равен нулю, и существует ненулевой поток энергии, выходящий из сферы, окружающей заряд.

Но дальше начинаются очень интересные вещи.

1) При постоянном ускорении это излучение не создаёт так называемого радиационного трения, то есть, хотя энергия вроде бы уходит от заряда, но он не тормозится: сила, ускоряющая заряд, должна быть такой, как будто никакого излучения нет вообще.

2) Равномерно ускоренное движение заряда на всём промежутке времени, начинающемся от $-\infty$, физически неосуществимо, так как за это время должна быть излучена бесконечная энергия; если постоянное ускорение поддерживается в течение времени от $t'_1$ до $t'_2$, а остальное время заряд движется равномерно, то работа силы радиационного трения равна энергии, излучённой за это время.

3) Излучение заряда, движущегося с постоянным ускорением, не является свободным электромагнитным полем, распространяющимся со скоростью света, и может быть уничтожено выбором системы отсчёта, в которой заряд покоится. То есть, в своей собственной системе отсчёта равномерно ускоренный заряд не излучает.

4) Заряд, "лежащий на столе" в постоянном гравитационном поле (в инерциальной системе отсчёта) не излучает. В свободно падающей системе отсчёта этот заряд излучает так, как это описано выше.

5) Свободно падающий в гравитационном поле заряд в инерциальной системе отсчёта излучает так, как это описано выше. В свободно падающей системе отсчёта этот заряд не излучает.

6) Заряд, неподвижный в инерциальной системе отсчёта, не излучает. В равномерно ускоренной (неинерциальной) системе отсчёта его излучение описывается приведёнными выше формулами.

Подробности, естественно, нужно смотреть в указанной статье В.Л.Гинзбурга.

Добавление. Вот обсуждение равномерно ускоренного заряда на другом форуме: Сила, действующая на равномерно ускоренный заряд.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Прежде, чем делать такие заявления, нужно хотя бы попытаться разобраться, о чём идёт речь. А для этого надо взять соответствующую литературу.

Вы еще не принесли мне свои извинения за предыдущие огульные обвинения, а делаете новые.
Все мои работы, выставленные на общее обсуждение в инете, снабжены соответствующими списками литературы, послужившей основой для научного анализа.
Вы, по-видимому, даже не удосужились ознакомиться с этими списками, или полагаете эту литературу неполноценной, что советуете мне с ней ознакомиться.
Я понимаю, что Вы знакомитесь с физикой по формулам, по мере необходимости, возникающей на форумах и обо всех судите по себе.
Таких как Вы масса, но, к счастью, далеко не все.
Повторяю, я жду Ваших извинений.
До того игнор Вашим сообщениям.

[Аурелиано Буэндиа]

[mod="Аурелиано Буэндиа"]Зиновий

Замечание за провокационное обсуждение личности участника форума, а не физики. Вы не вправе требовать от других участников форума что-либо, но Вы вправе не реагировать на их попытки вызвать Вас на дискуссию.[/mod]

[Варяг]

Г-н "Someone"! Нисколько не сомневаюсь в том, что Вы не испытываете затруднений в манипулировании матем. формулами.
Но главный вопрос в обсуждаемой теме о правильности ЭД Максвелла заключается в проверке её соответствия накопленным экспериментальным фактам, а не корректности с точки зрения абстрактных формул. Понимаю, что экспериментальная физика не Ваш профиль, поэтому прошу Вас привести ФОРМУЛУ, по которой можно было бы рассчитать частоту излучения, создаваемого прямолинейно движущимся с ускорением либо торможением в свободном пространстве электроном.
Электромагнитная волна - суть колебательное возмущение, распространяющееся в окружающем пространстве.
Как с точки зрения физики Вы объясните возникновение колебаний, создаваемых монотонно ускоряющимся либо тормозящимся электроном?

[AlexDem]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Абсурдна интерпретация в СТО и ОТО. "Искривление 4-х пространства-времени" по 5-ой координате что ли, или куда? Все пространственные координаты и параметр время уже задействованы.

То же самое. Вы просто не понимаете, о чём идёт речь. Причём тут пятая координата? Речь идёт о внутренней геометрии. Она отличается от (псевдо)евклидовой, вот и всё.

А разве нельзя представить неевклидово пространство $N$ измерений вложенным в евклидово пространство $N+k$ измерений? Например, 2-мерные многообразия, как правило, можно рассматривать как области в 3D (односторонние - в 4D). Верно ли это в общем случае? Что-то сомневаюсь насчёт пространства Минковского - похоже, нельзя "нарисовать" 2D пространство Минковского в 3D или даже любом ND...

Варяг писал(а):

привести ФОРМУЛУ, по которой можно было бы рассчитать частоту излучения, создаваемого прямолинейно движущимся с ускорением либо торможением в свободном пространстве электроном.

Не знаю, будет ли это по теме обсуждения, но формула приводится при рассмотрении тормозного излучения в Пескин, Шрёдер "Введение в квантовую теорию поля", глава "Радиационные поправки: введение", раздел 6.1 "Излучение мягких фотонов", подраздел "Квантово-механическое вычисление", формула 6.24.

$$N = \frac {d^3k} {(2\pi)^3} \sum\limits_\lambda {\frac {e^2} {2k} {\left| \varepsilon_\lambda (\frac {p'} {p'k} - \frac {p} {pk}) \right|}^2}$$

, где $k$ - 4-импульс излучаемого фотона, $N$ - ожидаемое число излученных фотонов.

Ещё можно посмотреть Ландау, Лифшиц "Теоретическая физика", Т.4 "Квантовая электродинамика" - там есть похожие формулы, подойдут ли они для рассматриваемого случая - не смотрел.

Правка: Добавил про Л-Л

[Developer]

Но так, как умеет манипулировать ими Зиновий, нам всем далеко до него, уважаемый Варяг!
Поясняю.
Математики имеют дело, как правило, с безразмерными величинами, а там, где уж никак не обойтись без этого, используют относительные величины.
Физики в этом отношении не столь щепетильны и, засучив рукава, сплошь и рядом имеют дело с метрами, килограммами, секундами, амперами, канделами, кельвинами и прочими основными и неосновными единицами меры физических параметров.
Но!! Физиков их учителя с малолетства обучают проверять результаты манипулирования величинами, входящими в физические формулы и выражения и проверять это сопоставлением не только размерностей, чтобы не суммировать килограммы, например, с амперами, но и оценивать порядки получаемых величин.
А как поступает Зиновий Исаакович?
В своей знаменитой работе НЕСОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА И ВЫХОД ИЗ СЛОЖИВШЕГОСЯ ТУПИКА на стр. 3 он приводит формулу, в правой части которой стоит любопытная сумма $grad \varphi+rot\vec{\textbf{A}}$.
Учитывая, что в конце первой стр. им дано $\vec{\textbf{B}}=rot\vec{\textbf{A}}$, то получается, что сумма представляет собой "пирог" из единиц напряженности электрического поля [В/м] и индукции магнитного поля [Тл].
Физики бы уж не забыли перед символом вихря поставить какой-нибудь множитель типа с (с - скорость света, например).

Добавлено спустя 2 часа 10 минут 52 секунды:

Так на какие же экспериментальные факты опирался Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц, выстраивая свою электродинамику?
Из его работы "О сохранении силы"(в современном написании на языке оригинала, "Über die Erhaltung der Kraft"):
- экспериментальные опыты с "электродинамическими явлениями", проведённые А.-М. Ампером и сведённые им (по словам Г. Гельмгольца) "к притягательным и отталкивающим силам элементов тока";
- данные В. Вебера, полученные с учётом явлений индукции, то есть опять "к притягательным и отталкивающим силам элементов тока", но уже с учётом скорости их приближения или удаления;
- на выведенные опытным путём законы наведённых токов, сформулированные к тому времени Ф. Нейманом и Э.Х. Ленцем.
Нужно учесть, что опытные данные того времени относились только к экспериментам с замкнутыми или, по словам Г. Гельмгольца, "почти замкнутыми токами".
Интересно, что все упомянутые исследователи того времени, включая и М. Фарадея имели свои представления об электродинамике, а термин "электродинамика" впервые применил А.-М. Ампер.

[Someone]

AlexDem писал(а):

Someone писал(а):

Причём тут пятая координата? Речь идёт о внутренней геометрии. Она отличается от (псевдо)евклидовой, вот и всё.

А разве нельзя представить неевклидово пространство $N$ измерений вложенным в евклидово пространство $N+k$ измерений?

Можно, только не знаю, зачем. Существуют какие-то теоремы о вложимости пространств Эйнштейна в псевдоевклидовы пространства. В книге

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Том II. Теория поля. "Наука", Москва, 1973

в § 100 есть задача 3: "Определить форму поверхности, на которой геометрия была бы такой же, как проходящей через начало координат "плоскости" в центрально-симметричном гравитационном поле в пустоте".

Такое вложение, мне кажется, сбивает с толку неопытных людей. Они принимают возникающую при этом наглядность за истинное положение дел, и начинают искать это "объемлющее" пространство там, где его не подразумевается, например, в ОТО. Кроме того, при таком подходе на внутреннюю геометрию накладывается "внешняя". Например, цилиндрическая поверхность всякому кажется кривой, в то время как внутренняя геометрия цилиндра - плоская.

AlexDem писал(а):

Например, 2-мерные многообразия, как правило, можно рассматривать как области в 3D (односторонние - в 4D).

Ну, не области, а поверхности. Если Вы имеете в виду вложение с точностью до гомеоморфизма - то можно. Если же нужна изометрия, то не обязательно.

AlexDem писал(а):

Верно ли это в общем случае? Что-то сомневаюсь насчёт пространства Минковского - похоже, нельзя "нарисовать" 2D пространство Минковского в 3D или даже любом ND...

Не понял, что Вы имеете в виду. Что мешает рассмотреть плоскость, на которой лишние координаты равны нулю?

[AlexDem]

Someone писал(а):

Можно, только не знаю, зачем. <...> Например, цилиндрическая поверхность всякому кажется кривой, в то время как внутренняя геометрия цилиндра - плоская.

Зато можно сразу увидеть, что по одному из направлений это пространство - замкнуто и если "пойти" в этом направлении, то вернёмся с обратной стороны.

Someone писал(а):

Не понял, что Вы имеете в виду. Что мешает рассмотреть плоскость, на которой лишние координаты равны нулю?

Если можно - поподробней... Что значит - "лишние координаты"? Метрика 2D пространства Минковского: $ds^2 = dx^2 - dy^2$, следовательно, если проекции на координатные оси равны и отличны от нуля, путь всё равно будет нулевым. То есть, если мы нарисуем равнобедренный треугольник, то длина его гипотенузы будет = 0. Что-то у меня не получается представить это пространство наглядно...