Треугольник Паскаля: сколько нечетных чисел в строке m?

[Whitaker]

Здравствуйте!
Сколько нечетных чисел в $m$-й строке треугольника Паскаля?

Я рассмотрел треугольник из $0$ и $1$, т.е. каждый элемент треугольника Паскаля берётся по модулю $2$. Но ничего пока не понятно.
Подскажите пожалуйста.

[Joker_vD]

Хм, с ходу ясно, что их четное число, а вот точнее...

[Whitaker]

Можете прокомментировать почему их четное число?

[Joker_vD]

Whitaker
Ну, $\sum\limits_{k=0}^n C_n^k = 2^n$, вычтите все четные коэффициенты — получите четное число, которое является, очевидно, суммой всех нечетных коэффициентов.

[Dan B-Yallay]

Whitaker в сообщении #485760 писал(а):

Можете прокомментировать почему их четное число?

Чтобы в строке с нечетным числом коэффициентов получить 1 в центре, надо чтобы в предыдущей строке над етой единицей было 0-1 или 1-0.
Но все строчки симметричны.

[Whitaker]

У меня такое доказательство этому факту:
Обозначим через $0$ - четное число, а через $1$ -нечетное число (остатки по модулю $2$)
При $n>0$ очевидно, что $\sum \limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\equiv 0 \pmod{2}$. Очевидно что единичек должно быть четное число.

[Dan B-Yallay]

Whitaker в сообщении #485768 писал(а):

У меня такое доказательство этому факту:
Обозначим через $0$ - четное число, а через $1$ -нечетное число (остатки по модулю $2$)
При $n>0$ очевидно, что $\sum \limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\equiv 0 \pmod{2}$. Очевидно что единичек должно быть четное число.

Это то же самое, что Вам сказал Joker_vD

[Whitaker]

Ой

[Joker_vD]

Так, ну вот я нарисовал этот треугольник по модулю два, получился какой-то непристойный фрактал наподобие треугольника Серпинского. Выходят следующие числа: 1,2; теперь удваиваем: 2,4; теперь удваиваем все с самого начала: 2,4,4,8; снова удваиваем: 2,4,4,8,4,8,8,16; и так далее. Получаем последовательность $(1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,\ldots)$. Как бы ее пристойно теперь записать?..

[Dan B-Yallay]

1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,...
Число повторений видимо будет увеличиваься. Только как? Арифметическая прогрессия или степени двойки...

[RIP]

A001316

[Joker_vD]

Блин! Два в степени вес Хэмминга от $m$! Кто бы мог подумать, а?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

RIP в сообщении #485780 писал(а):

A001316

Страшно далёк я оказался от истины.. Дальше чем декабристы от народа.

[RIP]

Здесь подробности.

[Whitaker]

Joker_vD в сообщении #485772 писал(а):

Так, ну вот я нарисовал этот треугольник по модулю два, получился какой-то непристойный фрактал наподобие треугольника Серпинского. Выходят следующие числа: 1,2; теперь удваиваем: 2,4; теперь удваиваем все с самого начала: 2,4,4,8; снова удваиваем: 2,4,4,8,4,8,8,16; и так далее. Получаем последовательность $(1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,\ldots)$. Как бы ее пристойно теперь записать?..

Простите меня, но ведь если Вы будете рассматривать треугольник по модулю 2 у Вас должны быть 0 и 1. А откуда у Вас появились 1,2,4,8 ??

-- Сб сен 24, 2011 07:02:10 --

Joker_vD в сообщении #485772 писал(а):

Получаем последовательность $(1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,\ldots)$.

Как вы эту последовательность получили?