2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимизировать функцию
Сообщение16.09.2011, 19:07 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Пусть $k\in(0, +\infty)$;
$f:\mathbb{Z^+}\to \mathbb{R^+}$,
$h:\mathbb{N}\to \mathbb{R^+}$,
$g:\mathbb{N}\to \mathbb{R^+}$,
$f_0=N\in \mathbb{N}$,
$f_t=f_{t-1}+h_t$,
$\forall{t}\in \mathbb{N}:f_t>f_{t-1}$,
$\forall{t}\in \mathbb{N}:h_t>0$,
$\forall{t}\in \mathbb{N}:h_t+g_t=kf_{t-1}$;
$\forall{t}\in \mathbb{N}:g_{t+1}>g_t>0$.
Нужно найти такую функцию $g_{t}$, чтобы функция $G_t(m)=\sum_{t=1}^m g_t$ была максимальной $\forall{m\in \mathbb{N}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение19.09.2011, 17:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
Если я правильно понял условие,функции $f,h$ заданы,из приведенных в условии равенств следует:$f_t+g_t=f_{t-1}+(h_t+g_t)$ или $g_t=(k+1)f_{t-1}-f_t$.Суммируя последнее равенство по $t$ от 1 до $m$ получим $$G(m)=\sum \limits _{t=1}^mg_t=k\sum \limits _{t=1}^{m-1}f_t+(k+1)f_0-f_m$$Т.е.функция $G(m)$ полностью определяется функцией $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 04:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
mihiv
mihiv в сообщении #484227 писал(а):
функции $f$, $h$ заданы

Они заданы в условии. Точнее, они обе определяются через $g$. Т.е. если мы найдем функцию $g$, то мы автоматом получим $f$ и $h$.


Я сейчас перечитал условие задачи и заметил ошибки. В общем, сейчас переформулирую задачу. Пусть есть вещественное число $k$ из интервала $(0,1)$ и положительное вещественное число $N$. Надо найти такую строго возрастающую функцию $g:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, значения которой положительны, чтобы
1) функция $h:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, такая, что $h_t=k(N+\sum_{i=1}^{t-1} h_i)-g_t$, имела только положительные значения и тоже была бы строго возрастающей;
2) функция $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, такая, что $f_t=N+\sum_{i=1}^{t} h_i$, тоже была бы строго возрастающей;
3) сумма $\sum_{t=1}^{m} g_t$ была максимальной для любого натурального $m$.
Т.е. должны выполняться все эти три условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 09:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Второе условие лишнее: если все h положительны, то автоматически f будет возрастающей. Получается, буква f вообще лишняя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 13:35 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
ИСН
Спасибо, я почему-то это сразу не заметил. Хорошо, второе условие выкидываем. Может есть какие-то идеи как решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Нет. Но есть ощущение, что можно как-то ещё упростить.
Например, формально доопределим h в нуле, а потом сдвинем её на единицу. Выйдет:
$h(1)=N,\,h(t+1)=k\sum\limits_{i=1}^t h(i) - g(t),\,t\in\mathbb N.$
Верно же?
Тогда и требование положительности для неё отпадает, т.к. уже содержится в требовании возрастания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 13:51 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
ИСН
Да, верно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну а тогда остаётся максимизация линейной функции многих переменных при множестве линейных же ограничений. На это была какая-то теория.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 14:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Еще можно от суммы избавиться.
$$h_{t+1}=k \sum_{i=1}^t h_i-g_t=k \sum_{i=1}^{t-1} h_i-g_{t-1}+g_{t-1}+kh_t-g_t=h_t+g_{t-1}+kh_t- g_t=(k+1)h_t+g_{t-1}-g_t,$$
где $t>1$ натуральное число.

-- 20.09.2011, 15:40 --

ИСН
Тогда получается, что это задача линейного программирования. Я правильно понимаю? Но тут еще фишка в том, что у меня сумма должна быть максимально возможной для всех $m$ одновременно, а не для каждого $m$ в отдельности. То есть, можно найти максимум, например, для $m=10$, но не факт, что при тех значениях $g_t$ ($t<11$), которые мы найдем, сумма для $m=100$ будет тоже максимально возможной. Вот как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 18:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
ИСН в сообщении #484464 писал(а):
Нет. Но есть ощущение, что можно как-то ещё упростить.
Например, формально доопределим h в нуле, а потом сдвинем её на единицу. Выйдет:
$h(1)=N,\,h(t+1)=k\sum\limits_{i=1}^t h(i) - g(t),\,t\in\mathbb N.$
Верно же?
Тогда и требование положительности для неё отпадает, т.к. уже содержится в требовании возрастания.

Нет, все таки так нельзя. Потому что получается, что $h(2)$ должна быть обязательно больше $N$, а мне так не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А, да, вижу. Ну значит, описать словами как-то типа "возрастающая начиная с 2".
Что же до максимизации всего сразу, то эту задачу, кажется, пытался решить Госплан СССР. "Конец немного предсказуем."

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизировать функцию
Сообщение20.09.2011, 19:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Итак, еще раз переформулирую условие задачи.

Пусть есть вещественное число $k$ из интервала $(0,1)$ и положительное вещественное число $N$. Надо найти такую строго возрастающую функцию $g:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, значения которой положительны, чтобы
1) функция $h:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, такая, что $h_t=k(N+\sum_{i=1}^{t-1} h_i)-g_t$, имела только положительные значения и тоже была бы строго возрастающей;
2) сумма $\sum_{t=1}^{m} g_t$ имела максимально возможное значение сразу для всех натуральных $m$.

Попробую выразить $h$ через $g$:
$$h_{t+1}=k(N+\sum_{i=1}^{t} h_i)-g_{t+1}=k(N+\sum_{i=1}^{t-1} h_i)-g_t+g_t+kh_t-g_{t+1}=(k+1)h_t+g_t-g_{t+1}.$$
$$h_1=kN-g_1$$
$$h_2=k(k+1)N-kg_1-g_2$$
$$h_3=k(k+1)^2N-k(k+1)g_1-kg_2-g_3$$
$$...$$
$$h_t=k(k+1)^{t-1}N-k\sum_{i=1}^{t-1}(k+1)^{t-1-i}g_i-g_t$$

-- 20.09.2011, 20:40 --

Так, теперь потребуем чтобы $h$ была строго возрастающей: $h_{t+1}>h_t$.
Следовательно $(k+1)h_t+g_t-g_{t+1}>h_t$, т.е. $kh_t>g_{t+1}-g_t$. (Кстати, отсюда сразу следует, что $h$ будет автоматом принимать только положительные значения, т.к. $g_{t+1}>g_t$). Итак, подставим $h_t$ в неравенство выше:
$$k^2(k+1)^{t-1}N-k^2\sum_{i=1}^{t-1}(k+1)^{t-1-i}g_i-kg_t>g_{t+1}-g_t.$$
Таким образом, получим следующее условие:
$$k^2(k+1)^{t-1}N>k^2\sum_{i=1}^{t-1}(k+1)^{t-1-i}g_i+(k-1)g_t+g_{t+1}$$
для любого натурального $t$.

-- 20.09.2011, 20:49 --

Как дальше решать?

-- 20.09.2011, 21:16 --

ИСН в сообщении #484580 писал(а):
Что же до максимизации всего сразу, то эту задачу, кажется, пытался решить Госплан СССР. "Конец немного предсказуем."

Не понял, это к чему было?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group