Существует ли инвариантное многообразие?

[DEstroFig]

Доброго времени суток!
Недавно у меня возник такой вопрос:
У любого ли диффеоморфизма $R^n$ на себя существует инвариантное многообразие размерности $n-1$?
Вопрос считаю интересным, но даже не знаю, с какой стороны подступиться.
Заранее спасибо.

[DEstroFig]

Хм..
Для $n=1$ придумался простой контрпример: $f(x) = x+1$ не имеет неподвижной точки.
Но это как-то неинтересно, и мне почему-то кажется, что для более высоких размерностей такое уже нельзя придумать.
Так что давайте считать $n>1$.

[Oleg Zubelevich]

а Вы сперва решите этот вопрос для линейных диффеоморфизмов плоскости

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #483757 писал(а):

а Вы сперва решите этот вопрос для линейных диффеоморфизмов плоскости

Допустим, решили (это нетрудно, причём в любой размерности). А дальше какой вопрос предполагался?

(я достаточно плохо с этой темой знаком, потому и спрашиваю)

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #483763 писал(а):

Допустим, решили (это нетрудно, причём в любой размерности)

продемонстрируйте пожалуйста

[ewert]

На плоскости -- любая траектория системы дифуравнений $\vec r\,'(t)=e^{t\ln A}r(t).$ В произвольной размерности -- такие траектории дают одномерные инвариантные многообразия, ну а уж ими можно (по крайней мере, локально) выстлать многообразия любой размерности, стартуя, например, с кусочка аффинного многообразия на единицу меньшей размерности, ортогонального направлению траектории в центре этого кусочка.

[Oleg Zubelevich]

Не любое линейное преобразование можно вложить в поток системы ОДУ.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #483797 писал(а):

Не любое линейное преобразование можно вложить в поток системы ОДУ.

Этого я не понял (я не такой уж и большой знаток качественной теории ОДУ, честно предупреждал). А вот за разгильдяйство -- пардон: разумеется, имелась в виду система $\vec r\,'(t)=\ln A\cdot \vec r(t)$ и её решение $\vec r(t)=e^{t\ln A}\vec r_0.$ Тыкаючи пальчиками по пипочкам -- у меня слетела шляпа нечаянно перепутались буковками сама система и её общее решение. Ну там ещё разные заклинания насчёт комплексностей и самопоресечений; но это, как мне кажется, уже по умолчанию.

[Oleg Zubelevich]

Матрицу с отрицательным определителем Вы в виде $e^{B}$ ( где $B$ действительная матрица) не представите

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #483836 писал(а):

( где $B$ действительная матрица)

А мне и не нужна её действительность. Видите ли, если $\vec r(t)$ -- комплексное решение той системы, и если $\vec u(t)=\mathop{\mathrm{Re}}\vec r(t)$, то для этой вещественной части в любом случае выйдет $\vec u(t+1)=A\cdot \vec u(t)$. Просто потому, что матрица $A$ всё ж таки вещественна.

[Oleg Zubelevich]

Тогда формально объясните, как Вы собираетесь получить инвариантное множество, и почему оно будет многообразием.

[ewert]

Куда ещё-то формальнее? Ну разве что для красоты буковки можно поменять местами.

Берём любую начальную точку $\vec r_0\neq\vec0$. Решаем линейную систему дифуравнений $\vec u\,'(t)=\ln A\cdot\vec u(t)$ (логарифм существует, поскольку матрица $A$ невырожденна) с начальным условием $\vec u(0)=\vec r_0$. Получаем решение $\vec u(t)=e^{t\ln A}\,\vec r_0$. Оно, вообще говоря, окажется комплексным, поэтому берём $\vec r(t)=\mathop{\mathrm{Re}}\vec u(t)$. Тогда

$\vec r(t+1)=\mathop{\mathrm{Re}}\vec u(t+1)=\mathop{\mathrm{Re}}e^{(t+1)\ln A}\,\vec r_0=\mathop{\mathrm{Re}}A\cdot e^{t\ln A}\,\vec r_0=\mathop{\mathrm{Re}}A\,\vec u(t)=A\,\vec r(t).$

Т.е. $A\cdot\vec r(t)=\vec r(t+1)\ (\forall t),$ а это и означает, что уравнения $\vec r=\vec r(t)$ параметрически задают одномерное инвариантное многообразие. И всё это никак не зависит от размерности.

Дальше для простоты рассмотрим трёхмерный случай (хотя эти соображения от размерностей тоже не зависят). Возьмём маленький отрезок с центром в $\vec r_0$ и перпендикулярный $\vec r\,'(0)$ (не обязательно перпендикулярный; ну для определённости). Выпустим из каждой точки этого отрезка аналогичную интегральную кривую. Эти кривые зачертят двумерное многообразие. Естественно, гладкое, поскольку решения линейных систем гладко (и даже аналитически) зависят от начальных данных.

Вот про глобальные свойства этих многообразий -- продолжимость краёв, возможные самопересечения или каустики -- я так сходу ничего не скажу. Но сама идея проста.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #483971 писал(а):

Вот про глобальные свойства этих многообразий -- продолжимость краёв, возможные самопересечения или каустики -- я так сходу ничего не скажу. Но сама идея проста.

1) Раз Вы не знаете какие самопересечения и т.п. это многообразие может иметь, то в каком смысле Вы вообще употребляете здесь слово "многообразие"?

2) Если Ваше наблюдение состоит в том, что отображение обладает таким вот инвариантным "многообразием", то это тривиальное наблюдение, и выписывать диф. уравнения в комплексном пространстве для этого не надо. Любой диффеоморфизм $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ обладает таким инвариантным "многообразием". Берем любое $n-1$-мерное многообразие $S\subset \mathbb{R}^n$ и по нему строим инвариантное "многообразие" $M=\cup_{k\in\mathbb{Z}}f^k(S)$.

DEstroFig
Попробуйте проверить, я думаю, что отображение комплексной плоскости
$z\mapsto e^i\overline z/2$ не имеет гладкого инвариантного вперед многообразия размерности 1.