тензоры

[MyxTap]

Здравствуйте,
дано, что $T_{ik}$ - тензор
$P_{ik}$ - псевдотензор
доказать, что $T_{ik}P_{ik}$ - псевдоскаляр

решение:
в новом базисе:

$T'_{ik} = \tau_{il}\tau_{km}T_{lm}$

$P'_{ik} = -\tau_{in}\tau_{kp}P_{np} $

$T'_{ik}P'_{ik} = -\tau_{in}\tau_{kp}\tau_{il}\tau_{km}T_{lm}P_{np}$

а что дальше делать не знаю...
А ниже выражение верное?
$\sum_{l,n} $\tau_{il}\tau_{in}$ = \sum_{l,n}(\bar{e}'_{i}\cdot \bar{e}_{l} ) (\bar{e}'_{i}\cdot \bar{e}_{n} ) = \sum_{l,n}\delta_{ln} = 1$

[ewert]

MyxTap в сообщении #479930 писал(а):

а что дальше делать не знаю...

Просто свернуть каждую пару тау по повторяющимся индексам. Но для начала стоит приподнять половину индексов: как-то нехорошо не различать ко- и контравариантные тензоры. Ну разве что у вас из прынципу преобразования только ортогональные...

[MyxTap]

нужно как-то без свертки и поднимания...

[ewert]

MyxTap в сообщении #479952 писал(а):

нужно как-то без свертки и поднимания...

без подымания -- вполне можно (если преобразования координат и впрямь допускаются лишь ортогональные), а вот без свёртывания по смежным индексам -- ну никак нельзя: что бы ни понималось под тензорной алгеброй -- в любом варианте эта операция стандартна

[MyxTap]

по индексам l,m,n,p производится суммирование... просто я знаки сумм не писал.

[ewert]

MyxTap в сообщении #480167 писал(а):

просто я знаки сумм не писал.

Никто и не пишет. Но кто Вам запрещал просуммировать сначала по $i$, потом по $k$, а там уж всё и очевидно?...

[MyxTap]

А зачем суммировать по $i$ и $k$? Здесь они пробегают от 1 до 3 (трехмерное пространство).