Отыскание квадратного корня матрицы.

[Bridgeport]

Добрый день,

Часто можно встретить мнение, что не стоит решать матричное уравнение через отыскание обратной матрицы. А если требуется найти квадратный корень матрицы, можно ли избежать отыскания обратной матрицы? Пусть наша матрица для простоты симметрична с действительными значениями.

[nestoklon]

Bridgeport в сообщении #477469 писал(а):

А если требуется найти квадратный корень матрицы, можно ли избежать отыскания обратной матрицы?

Прошу прощения за то, что вопросом на вопрос. Но зачем вам обратная матрица для нахождения корня?

[Bridgeport]

nestoklon в сообщении #477476 писал(а):

Прошу прощения за то, что вопросом на вопрос. Но зачем вам обратная матрица для нахождения корня?

Пусть $A$ симметричная с действительными значениями матрица, тогда возможна запись:
$A=P^{-1}DP$, где $D$-диагональная матрица, тогда


$A^{1/2}=P^{-1}D^{1/2}P$

Корень диагональной матрицы найти просто.

Может быть есть иные способы найти корень матрицы?

[nestoklon]

Вы видимо считаете что $P$ дано свыше? Почему бы тогда $P^{-1}$ не взять там же?

[Bridgeport]

Если $A$ данная матрица, то $D$ диагональная матрица, где на диагонали расположены собственные значениа матрицы $A$. Матрица $P$ состоит из собственных вектор матрицы $A$. Для отыскания $D, P$ можно применить разные алгоритмы не требующие отыскания обратной матрицы. Так что единственное место где нужна обратная матрица это $P^{-1}$.

Наверное, мой вопрос некорректно сформулирован. Скорее всего имело смысл спросить: как ещё можно отыскать корень матрицы, помимо процесса изложенного выше?

[nestoklon]

Bridgeport в сообщении #477497 писал(а):

Для отыскания $D, P$ можно применить разные алгоритмы не требующие отыскания обратной матрицы.

Во всех известных мне алгоритмах они находятся все вместе. Я не знаю ни одного алгоритма, который позволяет найти $P$ и $D$ и при этом не выдаёт $P^{-1}$ "в нагрузку". Не говоря уже о том, что для симметричной $A$ матрица $P$ ортогональная, а значит $P^{-1}=P^{T}$.

Bridgeport в сообщении #477497 писал(а):

как ещё можно отыскать корень матрицы, помимо процесса изложенного выше?

Чисто формально -- корень это функция. Функция от оператора определяется чрез её ряд Тэйлора. Как правило, это хуже чем с использованием диагонализации. Но случаи разные бывают.

[Bridgeport]

nestoklon в сообщении #477501 писал(а):

Не говоря уже о том, что для симметричной $A$ матрица $P$ ортогональная, а значит $P^{-1}=P^{T}$

Забыл про это совсем! Mетодомо Якоби я пользовался.

Спасибо!

[Bridgeport]

Я немного подзабыл.

nestoklon в сообщении #477501 писал(а):

$A$ матрица $P$ ортогональная, а значит $P^{-1}=P^{T}$.

Неужели матрица сразу ортонормальна, или её все же надо нормировать?

[nestoklon]

Bridgeport в сообщении #477782 писал(а):

Неужели матрица сразу ортонормальна, или её все же надо нормировать?

Смотря как она получена. Обычно СВ держатся нормированными в ходе их нахождения. Но это в принципе не обязательно.

[bopa]

Рекомендую ознакомиться с книгой Демидовича по теории матриц. Классику надо знать!

[ewert]

nestoklon в сообщении #477501 писал(а):

Я не знаю ни одного алгоритма, который позволяет найти $P$ и $D$ и при этом не выдаёт $P^{-1}$ "в нагрузку".

Это как минимум лишняя память (не в симметричном случае, конечно). Между тем умножение матрицы на матрицу требует такого же порядка количество операций, что и деление на матрицу.

[nestoklon]

ewert в сообщении #478940 писал(а):

Это как минимум лишняя память (не в симметричном случае, конечно).

Поиск жордановой формы вообще затратное дело. А что, есть такой алгоритм? Я не спец в экзотической численной линейке.

ewert в сообщении #478940 писал(а):

Между тем умножение матрицы на матрицу требует такого же порядка количество операций, что и деление на матрицу.

Мы можем обсудить эти тонкости, но к исходному вопросу они имеют мало отношения.

[ewert]

(Оффтоп)

nestoklon в сообщении #479023 писал(а):

Мы можем обсудить эти тонкости, но к исходному вопросу они имеют мало отношения.

Я просто среагировал на стартовую фразу:

Bridgeport в сообщении #477469 писал(а):

Часто можно встретить мнение, что не стоит решать матричное уравнение через отыскание обратной матрицы.

Ну это правда, естественно.

[eugrita]

Традиционный алгоритм вычисления функций от матрицы А основан
1)на преобразовании ее к диагональному или жорданову виду J и нахождения матрицы поворота T
т.е $A=TJT^{-1}$
2)вычислении функции $f(J)$ от диагональной или жордановой матрицы
3)обратном преобразовании-повороте, т.е $fA=T \cdot fJ \cdot T^{-1}$

однако для корня из матрицы с кратными собств значениями например $\sqrt{E}$
Этот алгоритм даст только 1 решение. между тем легко проверить что матрица
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
является решением уравнения $A^2=E$ и кандидатом на $\sqrt{E}$