Теорема Пифагора. Катет представлен четным числом.

[arseniiv]

Чем же вам так $\sqrt 2$ не угодил-то?

[SerjeyMinsk]

arseniiv в сообщении #476741 писал(а):

Чем же вам так $\sqrt 2$ не угодил-то?

Я сформулирую задачу точнее, а там вы сами поймете.

Найти простое выражение для числового представления соотношения между сторонами прямоугольного треугольника в том случае когда каждая сторона выражается рационально и меньший катет представлен четным числом.

[arseniiv]

Для чего вам такая мура?

Между, прочим, если каждая сторона «представляется рационально», можно умножить их все на некоторое натуральное так, что все стороны станут целыми. А тот чётный катет нечётным, естественно, не станет. Не легче ли так будет?

-- Пн авг 22, 2011 22:36:55 --

Ах да, самое главное же забыл: на $\sqrt2$ ваши рациональности умножать никто и не заставляет.

[SerjeyMinsk]

arseniiv
Вы правы, такая мура, какую вы тут написали, мне действительно не нужна.

[SerjeyMinsk]

Малый катет равен 100.
Чему равен другой катет и гипотенуза?

Вот, решите мне конкретную задачу.

Я, лично, могу.

[venco]

SerjeyMinsk в сообщении #477509 писал(а):

Малый катет равен 100.
Чему равен другой катет и гипотенуза?

Вот, решите мне конкретную задачу.

Есть 6 решений.

[SerjeyMinsk]

Какое первое

[venco]

SerjeyMinsk в сообщении #477527 писал(а):

Какое первое

100,105,145.

[SerjeyMinsk]

venco, спасибо!
Предполагаю, что последнее решение будет
100, 2499, 2501
верно?

[Батороев]

SerjeyMinsk в сообщении #477569 писал(а):

venco, спасибо!
Предполагаю, что последнее решение будет
100, 2499, 2501
верно?

SerjeyMinsk в сообщении #477481 писал(а):

arseniiv
Вы правы, такая мура, какую вы тут написали, мне действительно не нужна.

Согласно той "муре, какую тут вам написали":

$2mn=100=2\cdot 50\cdot 1$

$50>(1+\sqrt 2)\cdot 1$

$m^2+n^2=50^2+1=2501$

$m^2-n^2=50^2-1=2499$

верно... и даже предполагать не требуется.

[SerjeyMinsk]

Батороев, Так вы
arseniiv? Вам, наоборот хотел спасибо сказать, за более снисходительное пояснение своей позиции по данному вопросу.
Но я спрашивал про простейшую формулу для четного катета, такую-же простейшую, как и пифагорейскую для нечетного. Без вычисления квадратного корня. Аналогичную. неужели такой непонятный вопрос был? Благо я ее уже для себя открыл.

[venco]

SerjeyMinsk в сообщении #477687 писал(а):

Батороев, Так вы
arseniiv? Вам, наоборот хотел спасибо сказать, за более снисходительное пояснение своей позиции по данному вопросу.
Но я спрашивал про простейшую формулу для четного катета, такую-же простейшую, как и пифагорейскую для нечетного. Без вычисления квадратного корня. Аналогичную. неужели такой непонятный вопрос был? Благо я ее уже для себя открыл.

Вам уже сказали общую формулу примитивных пифагоровых троек.
Из неё легко следует, например, такое решение: $2s,s^2-1,s^2+1$.
Также перебором делителей можно получить все треугольники для заданного катета - например шесть для меньшего катета равного 100.

Похоже, вы с трудом воспринимаете формулы, но всё же попробуйте ещё раз:
Все примитивные тройки выражаются формулами: $2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$, где $m>n$ - взаимно простые натуральные числа.
Все вообще пифагоровы тройки выражаются формулами: $2kmn,k(m^2-n^2),k(m^2+n^2)$.
Всё.

[Батороев]

SerjeyMinsk в сообщении #477687 писал(а):

Но я спрашивал про простейшую формулу для четного катета, такую-же простейшую, как и пифагорейскую для нечетного. Без вычисления квадратного корня. Аналогичную. неужели такой непонятный вопрос был? Благо я ее уже для себя открыл.

Вам точно то и ответили, что Вы спрашивали. Но если из всего многообразия пифагоровых троек Вас интересовали только примитивные тройки с четным катетом и наибольшей возможной гипотенузой, то надо было точнее и спрашивать. Вам бы сразу и ответили:

Для четных чисел $N$, кратных $4$ (для четных чисел, не кратных $4$, примитивных пифагоровых троек не существует), формулы таковы:

$\left(N; \left (\dfrac {N}{2} \right)^2-1;\left (\dfrac {N}{2} \right)^2+1\right) $

[SerjeyMinsk]

Батороев, вот, вот именно это выражение я и искал.
Только почему "кратных 4" ?
Например 10.

[arseniiv]

Это будет уже не примитивная тройка. Разделите её на НОД, и получите примитивную с нечётным меньшим катетом.