Доказать, или показать на примере, что:

[vorvalm]

Апис
В своих рассуждениях вы все время куда-то торопитесь и вас иногда трудно понять. Например, в первых вариантах ваших формул в числе аргументов было число n. В последней формуле этого числа нет. Почему?
Давайте "танцевать от печки". Составим алгоритм определения числа простых чисел на интервале (0,m) по вашей формуле. Для этого необходимо:
1) выбрать m, 2) найти $p_n$ из условия $p_n<m<p^2_{n+1}$ и все простые числа $p_i<p_n$, 3) вычислить $\prod_1^n\frac{p_n-1}{p_n}$, 4) снова выбрать такое m, при котором формула дает абсолютно точное значение числа простых чисел на этом интервале.
Я правильно вас понял?

[Апис]

(max) Ошибка при вычислении
Два числа. (Берём целые значения, антье от чисел в квадратных скобках)
$\[\left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\left[ {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right]}}} \right]\]$
$\[\left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\left[ {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right] + 1}}} \right]\]$
Между данными числами, всегда находится число (Q)
(Q) – Количество простых чисел на интервале
$\[\left( {{p_n},\left( {p_{n + 1}^2 - 1} \right)} \right)\]$
Разница между двумя числами соответственно.
$\[\left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\left[ {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right]}}} \right] - \left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\left[ {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right] + 1}}} \right] = {E_{\max }}\]$
Есть (E_max) погрешность, при вычислении.

Может, кто приведёт пример, опровергающий это утверждение.
Я приведу пример для самого большого числа (n) для которого просчитан средний пробел. Правда, я запустил программу по поиску среднего пробела ненадолго, что бы только для примера.
P_n+1=839 (n)=146
8392-1=703920
703920/12-703920/13=58660-54147=4513
Q=56691
E_max=4513

[Апис]

Что бы легче воспринималась формула, предлагаю другой вариант:
$\[\left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \right) - 0,5} }}} \right] - \left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + 0,5} }}} \right] = {E_{\max }}\]$
Или даже
$\[\left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \right) - 0,4} }}} \right] - \left[ {\frac{{p_{n + 1}^2 - 1}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + 0,4} }}} \right] = {E_{\max }}\]$

[vorvalm]

Апис
Можно не учитывать некоторого несоответствия вашей нумерации простых чисел,например,р(146)=839, р(147)=853, но в отношении ваших формул большие вопросы.Вы их меняете от поста к посту, причем без всяких объяснений. Не надо торопиться. Сделайте все капитально. Желаю удачи.
С уважением vorvalm.

[Апис]

Для vorvalm

Согласен, механические ошибки для меня наказание

Прошу извинения у всех, вместо

$\[p_{n + 1}^2 - 1\]$

в числителе, везде должно быть

$\[p_{n + 1}^2 - {p_n} - 1\]$

[vorvalm]

Апис
Я имел в виду знаменатель.

[Апис]

vorvalm в сообщении #475313 писал(а):

Не надо торопиться. Сделайте все капитально

Для (vorvalm)
Я не спешу, я между двумя темами, как тот буриданов осёл, застрял. Числа страсть, но увлечение дневники, которые пишут не для публики. Конечно воспоминания, мемуары вещь хорошая, но приходиться просеивать информацию, отбрасывая личное приукрашивание, хуже того идеологическое приспособление, но это явно режет глаза и легко вычисляется. Вот наткнулся в воспоминаниях Александры Осиповны Россет, на вскользь помянутое, «Фельдмаршал Барятинский рассказывал историю убийства Петра III. Он говорил, что князь Фёдор Барятинский играл в карты с самим государем. Они пили и поссорились за карты, Пётр первым рассердился и ударил Барятинского, тот наотмашь ударил его в висок и убил его» И тут же «Не знаю, почему, гетман Скоропадский пожаловал князю Барятинскому триста тысяч десятин земли в Курской губернии». Александра Осиповна писала в преклонном возрасте и в Париже, это я к тому, что она могла себе позволить, не бояться, не нравиться, а это вызывает доверие к её словам. Я попробовал докопаться до правды, не хочется делать дурных предположений, сейчас это модно. Но, возможности поиска ограничены, а интернет очень уж современный, как отражение сегодняшнего дня, всего лишь. Так, что пока на месте. Занесло меня в сторону от чисел, думаю, модераторы простят мне мою слабость. На ваше замечание по знаменателю хочу сказать.

vorvalm в сообщении #475351 писал(а):

АписЯ имел в виду знаменатель.

В знаменателе всё чисто, не знаю, что вас там смущает, но что бы не застрять в тумане слов. Я кратко, с самого начала, выложу всё по теме и надеюсь, на все ваши вопросы будут даны ответы.
В принципе, что такое решето Эратосфена? Это поиск количества составных чисел, затем отсеивание от общего количества и имеем количество простых чисел. Значит, мы находим количество составных чисел на интервале
$\[(0,p_{n + 1}^2)\]$
Отнимаем от общего количества и имеем
$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + n} = Q\]$
Так как формула вычисления результата решета Эратосфена, все простые числа до (P_n)включительно, принимает за составные, как базисные числа по своему базису.
Q/ – Количество простых чисел на интервале
$\[({p_n},p_{n + 1}^2)\]$
Отсюда в формуле (+n)

И так

$\[m - \frac{m}{2}\]$

$\[m - \frac{m}{2} - \frac{m}{3} + \frac{m}{6}\]$

$\[m - \frac{m}{2} - \frac{m}{3} + \frac{m}{6} - \frac{m}{5} + \frac{m}{{10}} + \frac{m}{{15}} - \frac{m}{{30}}\]$

$\[\left( {m - \frac{m}{2} - \frac{m}{3} + \frac{m}{6}} \right)\left( {m - \frac{m}{5}} \right)\]$

$\[\left[ {m - \frac{m}{2} - \frac{m}{3}\left( {m - \frac{m}{2}} \right)} \right]\left( {m - \frac{m}{5}} \right)\]$

$\[\left( {m - \frac{m}{2}} \right)\left( {m - \frac{m}{3}} \right)\left( {m - \frac{m}{5}} \right)\]$

$\[{\rm{m}} \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right).... \cdot \frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}\]$

$\[m \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right).... \cdot \frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} = m \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$
$\[p_n^2 < m < p_{n + 1}^2\]$

$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$
- формула вычисления результата решета Эратосфена

$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \right)} \]$
- формула среднего пробела между простыми числами,

$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + n} = Q\]$

Далее, по мере роста чисел, при вычислении количества составных чисел, накапливается, погрешность вычисления.
(Руст) показал, что рост величины погрешности бесконечен. Кстати термин «средний пробел» ввёл (Руст), термин более точен, чем мой первоначальный, средняя плотность. Есть сомнение по выводам о бесконечном росте величины погрешности, так как например, если погрешность для простых чисел положительная величина, то для составных чисел точно такая же, но отрицательная величина, и её рост до бесконечности вызывает вопросы
Как поступить, что бы скомпенсировать рост погрешности?
Ввести коэффициент.

$\[k \cdot p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} + n = Q\]$

Но коэффициент не эмпирический, а привязанный к значениям (P_n).
Здесь трудность вот в чём, коэффициент меньше нуля и с ростом величин (чисел P_n), он должен стремиться не к единице, а к нулю. И всё должно быть строго математически доказано, хотя если найдёт кто эмпирически, подходящий коэффициент. Это будет большой успех.

[Sonic86]

Апис, Вы можете кратко и четко сформулировать интересующий Вас вопрос. Я попытался прочесть тему и ниасилил, а из того, что прочел, у меня сложилось впечатление, что Руст Вам уже все объяснил, а Вы все равно что-то пытаетесь найти эмпирически.

Вас интересует оценка сверху для последовательности $d_k = p_k - p_{k-1}$?

[Апис]

Sonic86 в сообщении #475606 писал(а):

Я попытался прочесть тему и ниасилил, а из того, что прочел, у меня сложилось впечатление, что Руст Вам уже все объяснил, а Вы все равно что-то пытаетесь найти эмпирически.

Хорошо, ещё раз, но с самого начала:

Вопросы распределения простых чисел, изучаются элементарными методами и методом математического анализа. Все элементарные методы можно описать, как попытку установить бесконечность количества простых чисел в той или иной части натуральных ряда. То есть среди натуральных чисел того или иного определённого вида. Методы математического анализа берут начало с тождества Эйлера

$\[\prod\limits_p {\frac{1}{{1 - \frac{1}{{{p^s}}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^s}}}} \]$

На основании этого тождества вопросы распределения простых чисел приводятся к изучению специальной так называемой дзета-функции определяемой рядом

$\[\zeta (s) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^s}}}} \]$

То есть проблема математического анализа нахождение достаточно простой аналитической функции
$\[f(x)\]$

Асимптотически равной
$\[\pi (x)\]$

Другими словами, искомая аналитическая функция
$\[f(x)\]$

Должна быть приближённым выражением функции
$\[\pi (x)\]$

Со сколь угодно малой относительной погрешностью при достаточно больших значениях (x)

Ещё проще, занимаемся не проблемой простых чисел, а проблемой, которая есть приближённое выражение проблемы простых чисел.

А теперь главное. Моя работа не является проблемой, которая является приближённым выражением проблемы простых чисел. Моя работа есть сама проблема простых чисел, она самодостаточна. Что это значит?
Это значит моя работа, пока не закончена, временно нуждается в сравнении с аналитической функцией
$\[f(x)\]$

которая является приближённым выражением функции
$\[\pi (x)\]$

Со сколь угодно малой относительной погрешностью при достаточно больших (x).
Нуждается, как во временном эталоне, который указывает на ошибки выбранного направления поиска.

Вернёмся к работе

Выводы по формуле я повторять не буду
__
$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + n} \]$
Формула для вычисления количества простых чисел на интервале
$\[(0,p_{n + 1}^2)\]$

Я утверждаю, что две функции асимптотически равны:

$\[f\left( {p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + n} } \right) \sim \pi (x)\]$

$\[x = p_{n + 1}^2\]$

Это утверждение основано на выше приведённых выводах формулы, по которой вычисляется количество простых чисел на интервале (0,x).
Это утверждение можно проверить. Сравнивая функцию

$\[f\left( {p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + n} } \right)\]$

с некой функцией

$\[f(x)\]$

Которая, является приближённым выражением функции

$\[\pi (x)\]$

Со сколь угодно малой относительной погрешностью при достаточно больших (x)

Что я и предлагаю вам сделать.

Я бы посоветовал, пока не брать во внимание выводы, к которым пришёл (Руст). Он работал с первым вариантом, с формулой–схемой, результат вычислений по такой формуле–схеме был сомнительный.
Попробуйте проверить сами выше приведённое утверждение.

[Sonic86]

Апис в сообщении #476025 писал(а):

Хорошо, ещё раз, но с самого начала:

Прочел длинный текст до черточки. Понял его так: Вы ищете $f:f(x) = \pi (x)$ такую, чтобы $f$, скажем, "просто" вычислялась или анализировалась. Если это так, то мне понятно, иначе - нет, поскольку

Апис в сообщении #476025 писал(а):

Моя работа есть сама проблема простых чисел

фраза "проблема простых чисел" имеет очень широкий смысл.

Апис в сообщении #476025 писал(а):

Я утверждаю, что две функции асимптотически равны:
$\[f\left( {p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right) + n} } \right) \sim \pi (x)\]$
$\[x = p_{n + 1}^2\]$

Здесь $f$ не определено. А если $f$ убрать, то получится асимптотическое равенство
$p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{p_i - 1}{p_i}} \right) + n} \sim \pi (x)$,
которое легко опровергается: $\pi (x) \sim \frac{x}{\ln x} \Rightarrow p_n \sim n \ln n$. Отсюда $p_{n+1}^2 \sim n^2 \ln ^2 n$, $\pi (p_{n+1}^2) \sim \frac{n^2 \ln ^2 n}{2 \ln n} \sim \frac{1}{2} n^2 2 \ln n$ - левая часть. Правая часть:
$n = o(p_n), \prod\limits_{i=1}^n \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln x}$ и тогда $p_{n+1}^2 \prod\limits_{i=1}^n \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right) + n \sim e^{-\gamma}\frac{n^2 \ln ^2 n}{\ln n} \sim e^{-\gamma} n^2 \ln n$.

Порядки асимптотики совпадают, а константы - нет: $\frac{1}{2} \neq e^{-\gamma}$, хотя численная разница между ними не более $0,07$.
Вас подводят незнание точных констант, осцилляции функций и медленность роста $\ln n$.

Наконец, а зачем Вы ищете асимптотические равенства, если они уже давно есть:

$$\pi (x) \sim \frac{x}{\ln x}, p_n \sim n \ln n$$

Формулы довольно простые, погрешность первой $O \left( \frac{n}{\ln^2 n}\right)$, второй - $O (n \ln \ln n)$. Есть и более точная формула, вытекающая из гипотезы Римана: $O(\pi (x) - \int\limits_2^x \frac{dt}{\ln t}) = O(x^{\frac12 + \epsilon})$, эмпирически ее уже проверяли - она выполняется.

Еще есть вопросы?

[Апис]

Sonic86 в сообщении #476074 писал(а):

Еще есть вопросы?

Есть два вопроса
1,$\[p_{n + 1}^2 \sim {n^2}{\ln ^2}n\]$
Почему в правой части асимптотического равенства, число (n) а не (n+1)
2,$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 - \frac{1}{{{p_i}}}} \right)} + n \sim {e^{ - \gamma }}\frac{{{n^2}{{\ln }^2}n}}{{\ln n}} \sim {e^{ - \gamma }}{n^2}\ln n\]$
Куда делось слагаемое (n)

Цитата:

Наконец, а зачем Вы ищете асимптотические равенства, если они уже давно есть:

Претензии к работе основаны на асимптотических равенствах, я хочу проверить обоснованность

[Sonic86]

Апис в сообщении #476218 писал(а):

Есть два вопроса
1,$\[p_{n + 1}^2 \sim {n^2}{\ln ^2}n\]$
Почему в правой части асимптотического равенства, число (n) а не (n+1)

Это потому, что $p_n \sim p_{n+1}$. Действительно:
$\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = \lim\limits_{n \to + \infty} \frac{(n+1) \ln (n+1) }{n \ln n} = $ $\lim\limits_{n \to + \infty} \left( 1+ \frac{1}{n}\right)\frac{\ln n+ \ln (1+\frac{1}{n})}{\ln n} = \lim\limits_{n \to + \infty} 1+\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\ln n} = 1$

Апис в сообщении #476218 писал(а):

Куда делось слагаемое (n)

Я напомню, что мы пишем $g(n) = o(f(n)) \Leftrightarrow \lim\limits_{n \to + \infty} \frac{g(n)}{f(n)}=0$. В таком случае $f(n)+g(n) \sim f(n)$ Поскольку 1-е слагаемое $\sim C n^2 \ln n$, а $n = o(n^2 \ln n)$, то второе слагаемое можно просто отбросить.

Апис в сообщении #476218 писал(а):

Претензии к работе основаны на асимптотических равенствах, я хочу проверить обоснованность

Не понял? Какую обоснованность? Полученные асимптотические соотношения - это вполне точные истинные утверждения. И если $f(n) \not \sim g(n)$, то никогда $f(n) \neq g(n)$.

[Апис]

Sonic86 в сообщении #476264 писал(а):

Полученные асимптотические соотношения - это вполне точные истинные утверждения.

$\[{p_n} \sim {p_{n + 1}}\]$

Такая замена категорически невозможна. Посмотрите к чему приводят эти вполне точные истинные утверждения.
Если отношение
$\[\frac{{\pi (x)}}{x}\]$
можно рассматривать как среднею плотность, или средний пробел на интервале (0,x). То есть для каждого (x) свой средний пробел. То в моей работе средняя плотность задаёт интервал (0,p_(n+1)^2) и данный интрвал нельзя не уменьшать не увеличивать x=P_(n+1)^2 и других значений (x) не допускается. Потому, что средняя плотность от
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$
до
$\[\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$
или
$\[\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$
плавно не изменяется. Для каждого (P_n) свой средний пробел.

Цитата:

Полученные асимптотические соотношения - это вполне точные истинные утверждения.

Но одновременно они допускают искажения.
Замена (P_n) на (p_(n+1)) влечёт за собой замену среднего пробела, потому, что они между собой связаны однозначно и вариантов не допускается.
Если рассуждать, используя точные истинные утверждения то
$\[{p_{n - 2}} \sim {p_{n - 1}} \sim {p_n} \sim {p_{n + 1}}\]$
мы придём к абсурду.
То что работает там в другом мире, в мире очень больших чисел, в мире бесконечности, не работает в нашем мире, мире малых и больших чисел.

В нашей дискуссии с (Руст), я так и не смог объяснить. Что отбрасывание (пусть и в рамках правил) слагаемого (n) влечёт за собой изменение интервала от
$\[\left( {0,p_{n + 1}^2} \right)\]$
до
$\[\left( {{p_n},p_{n + 1}^2} \right)\]$
И все дальнейшие рассуждения о асимптотическом равенстве теряют смысл.
Поймите меня правильно (Sonic86) всё что вы делаете используя точные, истинные утверждения, влекут за собой такие кардинальные изменения в асимптотическом равенстве,
$\[\pi (x) \sim \frac{x}{{\ln x}}\]$
В котором х=P_(n+1)^2, а средний пробел
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_{i - 1}}}}} \]$
фиксированный и неизменяемый в рамках интервала
$\[\left( {0,p_{n + 1}^2} \right)\]$

что говорить дальше нет смысла. Я во всяком случае попробовал, в дискуссии с (Руст), у меня ничего не получилось.

[Sonic86]

Апис в сообщении #476274 писал(а):

$\[{p_n} \sim {p_{n + 1}}\]$

Такая замена категорически невозможна.

Это неверно. В определенных классах асимптотических соотношений замена $p_{n+1}$ вполне возможна (не вообще). Например: $p_n \sim p_{n + 1}, p_n^2 \sim p_{n + 1}^2, p_n^9 \sim p_{n + 1}^9$, $\ln p_n \sim \ln p_{n + 1}$ и т.п. С другой стороны, например, $e^{p_n^2} \not \sim e^{p_{n+1}^2}$. Но в приведенном приеме замена (там даже не замена, а преобразование) вполне законна - я написал доказательство. Попробуйте найти ошибку.

Апис в сообщении #476274 писал(а):

Если отношение
$\[\frac{{\pi (x)}}{x}\]$
можно рассматривать как среднею плотность, или средний пробел на интервале (0,x). То есть для каждого (x) свой средний пробел. То в моей работе средняя плотность задаёт интервал (0,p_(n+1)^2) и данный интрвал нельзя не уменьшать не увеличивать x=P_(n+1)^2 и других значений (x) не допускается. Потому, что средняя плотность от
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$
до
$\[\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$
или
$\[\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$
плавно не изменяется. Для каждого (P_n) свой средний пробел.

Непонятно, что Вы написали. Например, утверждение "средняя плотность задаёт интервал (0,p_(n+1)^2) " некорректно - "средняя плотность" от $n$ не зависит, а интервал $(0,p_{n+1}^2)$ - зависит. Сформулируйте точнее.

Апис в сообщении #476274 писал(а):

Но одновременно они допускают искажения.
Замена (P_n) на (p_(n+1)) влечёт за собой замену среднего пробела, потому, что они между собой связаны однозначно и вариантов не допускается.

Непонятно, что такое "искажение". Сформулируйте точнее.
Если Вы имеете ввиду взаимно однозначное соотношение между числами $p_n$ и средними пробелами $\frac{1}{n} \sum\limits_{k:p_k \leqslant n} d_k$, где $d_k=p_k-p_k-1$, то оно здесь к асимптотическим равенствам отношения не имеет - при замене функций на асимптотически эквивалентные им функции подобное соответствие сохранятся не обязано.

Апис в сообщении #476274 писал(а):

Если рассуждать, используя точные истинные утверждения то
$\[{p_{n - 2}} \sim {p_{n - 1}} \sim {p_n} \sim {p_{n + 1}}\]$
мы придём к абсурду.

Ну придите к абсурду, я посмотрю. Выписанная Вами формула верна. А по индукции доказать, например, утверждение $p_n \sim p_{n+1} \sim ... \sim p_{2n}$ Вы не сможете.

Апис в сообщении #476274 писал(а):

В нашей дискуссии с (Руст), я так и не смог объяснить. Что отбрасывание (пусть и в рамках правил) слагаемого (n) влечёт за собой изменение интервала от
$\[\left( {0,p_{n + 1}^2} \right)\]$
до
$\[\left( {{p_n},p_{n + 1}^2} \right)\]$
И все дальнейшие рассуждения о асимптотическом равенстве теряют смысл.

И с чего они теряют смысл? В данном рассуждении ни слова не написано об асимптотическом равенстве, а оно доказано.
Зачем идти против истины?
Попробуйте написать точнее и подробнее - я уверен, Вам станет понятнее. Вы только пишите понятно и я Вас обязательно пойму

[Droog_Andrey]

Sonic86, преклоняюсь перед Вашей терпимостью