Задача:
Найти частоту малых колебаний полуцилиндра, находящегося на гладкой горизонтальной поверхности в поле тяжести
Функция Лагранжа
![$L = T - U$ $L = T - U$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/4/d94efafa100ceb05cb436e9e7c9c401982.png)
Кинетическую энергию найдем, как
![$T = T^{c.m.} + T^{rotation}$ $T = T^{c.m.} + T^{rotation}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/7/fc75617fa3aa38e148eea574a116176a82.png)
, где
![$T^{c.m.}$ $T^{c.m.}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/8/ab8e9a9256fe0f0b913bb0f42983120382.png)
- кинетическая энергия движения центра масс,
![$T^{rotation}$ $T^{rotation}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/1/e0101b897fce76e295aab4d07cb6d6b482.png)
- кинетическая энергия вращения
Введем угол
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
поворота полуцилиндра,
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
- высота центра масс над плоскостью
![$T^{rotation} = \frac12I_o\dot{\varphi}^2$ $T^{rotation} = \frac12I_o\dot{\varphi}^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/c/82c2ec5d43745584cc75155a7196e21e82.png)
, где
![$I_o$ $I_o$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/2/c82e0b683f03d3930086a09102d97dfb82.png)
- момент инерции относительно оси, параллельно оси цилиндра и проходящей через центр масс
Пусть ось
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
направлена вдоль оси полуцилиндра, ось
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
- параллельно срезу, ось
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
-перпендикулярно поверхности(направим вниз)
Тогда
![$y_{c.m.} = \frac {4 R}{3\pi}$ $y_{c.m.} = \frac {4 R}{3\pi}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/a/f0a643c0e9cda0e9b73ec38044f16bef82.png)
По теореме Гюйгенса-Штейнера
![$I_o = I_a - m y_{c.m.}^2$ $I_o = I_a - m y_{c.m.}^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/4/a7498491a5d10a677c4de05646a8c0c782.png)
, где
![$I_a$ $I_a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/486a629ac629a4ab4efb8989e3b946d482.png)
- момент инерции относительно оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
, причем
![$I_a = \frac{m R^2}2$ $I_a = \frac{m R^2}2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/5/5a59a8585f496df8787de812f904946b82.png)
Находим
![$I_o = \frac {mR^2 ({9{\pi}^2} - {32}) }{18{\pi}^2}$ $I_o = \frac {mR^2 ({9{\pi}^2} - {32}) }{18{\pi}^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/d/17d2e7edb580406a082d4140834a0d5b82.png)
Для координаты центра масс
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
при отклонении на угол
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
имеем:
![$y = R - y_{c.m.} \cos{\varphi} = R - \frac{4 R}{3 \pi} \cos{\varphi}$ $y = R - y_{c.m.} \cos{\varphi} = R - \frac{4 R}{3 \pi} \cos{\varphi}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed7d61c69e9ec12db3f9b012577561e82.png)
Отсюда,
![$$T^{c.m.} = \frac12 m {\dot{y}}^2 = \frac {8mR^2 \sin{\varphi}^2 \dot{\varphi}^2} {9\pi^2}$$ $$T^{c.m.} = \frac12 m {\dot{y}}^2 = \frac {8mR^2 \sin{\varphi}^2 \dot{\varphi}^2} {9\pi^2}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/3/7633b0b68cf69168246df52890a02bab82.png)
![$$ U = mgy = mg (R-\frac{4R}{3 \pi}) = U_o + mg\frac{2R}{3\pi} \varphi^2 + o(\varphi^2) $$ $$ U = mgy = mg (R-\frac{4R}{3 \pi}) = U_o + mg\frac{2R}{3\pi} \varphi^2 + o(\varphi^2) $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/a/e1a2231bc888c311d9d4bf1e3e02dfcb82.png)
![$T^{c.m.}$ $T^{c.m.}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/8/ab8e9a9256fe0f0b913bb0f42983120382.png)
имеет порядок малости выше второго
В приближении малых колебаний Лагранжиан будет иметь вид:
![$$L = \frac12I_o\dot{\varphi}^2 - mg\frac{2R}{3\pi} \varphi^2 $$ $$L = \frac12I_o\dot{\varphi}^2 - mg\frac{2R}{3\pi} \varphi^2 $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/c/28c731f01e8c731abbb4baaf997bcc6e82.png)
Отсюда и получаем окончательный ответ:
![$\omega^2 = \frac gR \frac {24 \pi}{9 \pi^2 - 32}$ $\omega^2 = \frac gR \frac {24 \pi}{9 \pi^2 - 32}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/e/35e742949f05aa4699526875b3489ffb82.png)
Ответ, как мне говорят, неправильный
Я неправильно решаю задачу? Если так, то в чем ошибочность моих рассуждений?
Заранее благодарю