Помогите решить задания

[TDY]

Доказать, что для любого числа а: $a <1, a>0 $ существует натуральное число n для которого $\{\sqrt[3]n\}>a$

Следуя замечанию nnosipov, делаю фигурные скобки, которые были у автора в коде, видимыми. //AKM

Решить уравнение:$\sqrt {x^2+1} - x = \dfrac5{2\sqrt{x^2+1}}$

Доказать, что каждое простое число вида $4k+1$, где $k$ - натуральное., является длиной гипотенузы приямоугольного треугольника, сторони которого выражаются натуральными числами.

По поводу третьего задания у меня размышления таковы, что произведения сумм двух квадратов сами являются суммами двух квадратов, доказательство достаточности сводится к доказательству того, что каждое простое число вида $4n + 1$ можно записать как сумму двух квадратов. По формуле Ферма

[Sonic86]

topic183.html

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами. Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Правила также требуют предъявить свои попытки решения.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[AKM]

TDY в сообщении #468017 писал(а):

Доказать, что для любого числа а: $a <1, a>0 $ существует натуральное число n для которого ${\sqrt[3]n}>a$

(1) Для доказательства существования достаточно привести пример такого числа. Возьмите $n=1$ или $n=1000000$, проверьте. И всё.

[Sonic86]

Блин, это уже было в точности!
topic47181

[nnosipov]

AKM в сообщении #468095 писал(а):

(1) Для доказательства существования достаточно привести пример такого числа. Возьмите $n=1$ или $n=1000000$, проверьте. И всё.

При переводе в TeX были забыты фигурные скобки, обозначающие дробную часть и делающие задачу хоть сколь-нибудь неочевидной. А вообще всё это уже обсуждалось не так давно. Сами задачи с какой-то украинской интернет-олимипиады (вроде бы).

[TDY]

$n=1$ не получится, так как $a<1$

[AKM]

В том виде, в каком Вы изложили задачу, даже не перечитав внимательно своё исправленное сообщение — запросто получилось бы.

Сначала TDY в сообщении #468017 писал(а):

Доказать, что для любого числа а: $a <1, a>0 $ существует натуральное число n для которого ${\sqrt[3]n}>a$

$\sqrt[3]1=1>a$, так как по условию $ a<1$.
Теперь, когда я исправил условие, — действительно не получится.

[Gortaur]

Sonic, да было, но ссылка не работает у меня. Правильная ссылка здесь

[Praded]

Во втором нужно умножить обе части на $\sqrt{x^2+1}+x$.

[MrDindows]

nnosipov в сообщении #468099 писал(а):

Сами задачи с какой-то украинской интернет-олимипиады (вроде бы).

Именно. Более того олимпиада действующая.