Задачка по алгебре: два закона композиции, дистрибутивны ...

[JMH]

На множествае заданы два закона композиции. Нужно доказать, что если каждый закон дистрибутивен относительно другого, то все элементы множества являются идемпотентами относительно обоих законов.

Пусть $e$ - нейтральный элемент относительно закона $\diamond$, а $u$ - нейтральный элемент относительно закона $\star$, тогда $e \star u=e \star (u \diamond e)=(e \star u) \diamond (e \star e)\implies e\star e=e$ Точно также $u\diamond u=u$, т.е. оба нейтральных элемента идемпотентны относительно обоих законов. Как быть с произвольным элементом множества?

[Виктор Викторов]

Так и попробуйте рассмотреть задачу для каждого элемента, а не только для нейтрального. Кстати, хорошая иллюстрация к этой задаче пересечение и объединение множеств.

[bnovikov]

Условие неверно. Контрпример: в множестве фиксируем элемент $a$ и положим $x\star y=x\diamond y=a$ для всех $x,y$.

[Виктор Викторов]

Ещё вкуснее. Теперь надо думать о том, какие нужны дополнительные ограничения.

[JMH]

Виктор Викторов
Да, объединение и пересечение множеств подходят...

bnovikov
Имеете ввиду, например, $a\star a=(x\diamond y)\star(x\diamond y)=[x\star(x\diamond y)]\diamond[y\star(x\diamond y)]=(x\star x)\diamond(x\star y)\diamond(y\star x)\diamond(y\star y)$? Если оба закона композиции коммутативны, то получится, но в условии задачи этого не сказано. Вобще-то задача из Бурбаки, я им склонен доверять...

[Виктор Викторов]

JMH в сообщении #466274 писал(а):

Вобще-то задача из Бурбаки, я им склонен доверять...

Том и страничку, пожалуйста.

[JMH]

Алгебра (том 2 серии), стр. 82, задача 3.

[Виктор Викторов]

Спасибо. Вы меня слегка попутали со вторым томом. Речь идет о книге "Алгебра Алгебраические структуры" и уж, если считать тома, то этот, скорее, первый.

[bnovikov]

JMH в сообщении #466274 писал(а):

bnovikov
Имеете ввиду, например, $a\star a=(x\diamond y)\star(x\diamond y)=[x\star(x\diamond y)]\diamond[y\star(x\diamond y)]=(x\star x)\diamond(x\star y)\diamond(y\star x)\diamond(y\star y)$? Если оба закона композиции коммутативны, то получится, но в условии задачи этого не сказано. Вобще-то задача из Бурбаки, я им склонен доверять...

Я имел ввиду, что в этом случае только $a$ является идемпотентом, хотя обоюдная дистрибутивность есть.

А насчет доверия Бурбакам... В задаче сказано: "левые внешние законы... дистрибутивны друг относительно друга". Так я не нашел определения выражения "внешний закон дистрибутивен относительно другого внешнего закона".

[JMH]

bnovikov в сообщении #466295 писал(а):

А насчет доверия Бурбакам... В задаче сказано: "левые внешние законы... дистрибутивны друг относительно друга". Так я не нашел определения выражения "внешний закон дистрибутивен относительно другого внешнего закона".

Видимо имелось ввиду "каждый левый внешний закон, порождённый соотв. внутренним, дистрибутивен относительно другого внутреннего закона". Нигде в книге не видел определение внешнего закона, дистрибутивного относительно другого внешнего; относительно внутреннего закона, определённого на множестве операторов, это да, имеется, но мне кажется это другое.

Вобще, чем больше думаю , тем больше кажется, что нужно требовать коммутативности обоих законов, иначе не получится.

[bnovikov]

$x\star x=(x\diamond e)\star (x\diamond e)=x\diamond (e\star e)=x\diamond e=x$

[JMH]

Стало быть, всё-таки получается! :) Спасибо Вам большое! Такая простая (с виду) выкладка, а не допёр... у Бурбаков задача помечена, как повышенной трудности...

[bnovikov]

Успехов в борьбе с Бурбаками!