Помогите показать, что изометрия явл. диффеоморфизмом!

[kevra]

Показать, что каждая изометрия T:$\mathbb R^n $\mapsto $\mathbb R^n$ является диффеоморфизмом.
Подскажите пожалуйста как сделать.

[Padawan]

Докажите, что это аффинное отображение. Покажите сначала, что сохраняются скалярные произведения векторов.

[kevra]

Спасибо. А есть еще какой-нибудь способ?

[paha]

kevra в сообщении #388646 писал(а):

Спасибо. А есть еще какой-нибудь способ?

нет... т.к. доказывая дифференцируемость непременно обнаружите, что отображение аффинно: делайте замену $P(v)=T(v)-T(0)$ и вычисляйте

$$ \|P(v+u)-P(v)-P(u)\| $$

[kevra]

а где об этом можно почитать?

[paha]

любой учебник: Винберг, Кострикин, Кострикин-Манин и т.д.

но уже попробуйте сами:

paha в сообщении #388667 писал(а):

делайте замену $P(v)=T(v)-T(0)$

поймите почему

Padawan в сообщении #388645 писал(а):

сохраняются скалярные произведения векторов

т.е. $(P(u),P(v))=(u,v)$
а потом вычисляйте

paha в сообщении #388667 писал(а):

$$ \|P(v+u)-P(v)-P(u)\|^2 $$

[kevra]

Получилось, что квадрат нормы разности равен разности квадратов норм. Это правильно? Что из этого следует?

-- Сб дек 18, 2010 22:51:51 --

нет, получилось равно 0!!!!

[paha]

значит отображение $P$ линейно, а изометрия $T$ -- аффинна

[kevra]

а из линейности следует непрерывная дифференцируемость?

[Vooo]

Получается, что эти два понятия (изометрия и диффеоморфизм) эквивалентны при отображении $T: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$?

[Gortaur]

Vooo
Да нет же, возьмите $x\to 2x$. Это не изометрия.

[nnosipov]

Gortaur, а что Вы понимаете под изометрией? А, Вы уже убрали свой странный пример.

[Gortaur]

nnosipov
Угу, прочитал про требуемую $C^\infty$ - я по старой привычке думаю, что гладкий значит $C^1$.
Кстати, я думал Вы спросите, знаю ли я что такое диффеоморфизм - и Ваш вопрос меня поставил в тупик.

[Vooo]

Так как $T: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$ - изометрия, значит при отображении сохраняется расстояние между точками. Раз сохраняется расстояние, то это афинное отображение... Ведь так? Или где-то "вру"?
Но как это помогает доказать дифференцируемость?

[nnosipov]

Vooo в сообщении #461097 писал(а):

Так как $T: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$ - изометрия, значит при отображении сохраняется расстояние между точками. Раз сохраняется расстояние, то это афинное отображение... Ведь так? Или где-то "вру"?
Но как это помогает доказать дифференцируемость?

Не врёте. Просто любое аффинное отображение дифференцируемо. По очевидным причинам.