Помогите показать, что изометрия явл. диффеоморфизмом!

[Vooo]

Получается такая цепочка рассуждений:
Изометрия $T: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$ является афинным отображением. Афинное отображение дифференцируемо(правда для меня пока что это не тривиально). Следовательно каждая изометрия является диффеоморфизмом.

так?

[Gortaur]

Vooo
Так. Напишите определение аффинного отображения.

[Vooo]

Афинным преобразованием называется отображение $F: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$, заданное равенством $F(v) = Av + b$, где $b \in \mathbb R^n$ - произвольный вектор, а $A: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$ - обратимый линейный оператор.

[Gortaur]

Чему равна первая производная этого отображения? А вторая?

[Vooo]

В координатном виде наверное так...
Первая производная будет равна: $(a_1_1+...+a_1_n, ... , a_n_1+...+a_n_n)$.
Вторая, вероятно, будет равна: $(0,0,...,0)$.

[Gortaur]

Ну, первая - это $\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right) = A$. Вторая будет другим тензором (пропавьте, если вру), но уже с нулевыми компонентами, третья - тоже с нулевыми и т.д.

[Vooo]

Вроде разобрался. Спасибо за помощь (=