Найти функцию

[myra_panama]

Пусть $f:R \to R$ непрерывная функция , такое что $(f\circ f\circ f)(x)=x$ $\forall x$. Покажите , что f является тождественной(identity) функции.

Вопрос 1. Что обозначает символ $\circ$ ?
Вопрос 2. как можно считать $f\circ f$ ?
3. помогите решить задачку.

[chessar]

myra_panama в сообщении #460635 писал(а):

Вопрос 1. Что обозначает символ $\circ$.

$f\circ f$ есть $f(f(\cdot))$.
В итоге, надо решить функциональное уравнение $f(f(f(x)))=x$ ($\forall x\in\mathbb{R}$) в классе непрервыных всюду на $\mathbb{R}$ функций.

[Gortaur]

Это суперпозиция скорее всего: $(f\circ g)(x) := f(g(x))$ - сложная функция то есть.

[myra_panama]

Gortaur в сообщении #460642 писал(а):

Это суперпозиция скорее всего: $(f\circ g)(x) := f(g(x))$ - сложная функция то есть.

то есть в моем примере $f(f(f(x)))=x$.
ммм даа решение как то не элементарно по моему?

[ИСН]

Ну скажем так: непосредственно сразу после объяснения, что такое $f\circ g$, обычно жизнь подкидывает какие-то задачки попроще из этой области.

[myra_panama]

ИСН в сообщении #460647 писал(а):

Ну скажем так: непосредственно сразу после объяснения, что такое $f\circ g$, обычно жизнь подкидывает какие-то задачки попроще из этой области.

Я пас. По моему этот раздел об функанализа... , но я не начал еще функан.

[Gortaur]

myra_panama
Для меня данное утвеждение нетривиально - правда я не знаю как решить даже $(f\circ f)(x) = x$. Ну, кроме того, что график функции будет симметричен относительно $y=x$.

[RIP]

1. $f$ строго возрастает.
2. Ни в какой точке не может не может выполняться неравенство $f(x)>x$ или $f(x)<x$.

[myra_panama]

RIP в сообщении #460663 писал(а):

1. $f$ строго возрастает.
2. Ни в какой точке не может не может выполняться неравенство $f(x)>x$ или $f(x)<x$.

Можно ли отсюда вытекать , что для любых x , f(x)=x ?

[ИСН]

- Где мне стоять?
- Где хочешь. Только справа вот отсюда нельзя. И слева тоже нельзя. А так где хочешь.

[myra_panama]

ИСН в сообщении #460668 писал(а):

- Где мне стоять?
- Где хочешь. Только справа вот отсюда нельзя. И слева тоже нельзя. А так где хочешь.

ну и у вас логика ... ... помоему на середине

[ИСН]

"Свобода - это осознанная необходимость", they say.

-- Вт, 2011-06-21, 14:23 --

Вот так и наша функция. Ниже x нельзя, выше нельзя. А так - гуляй где хочешь.

[myra_panama]

RIP в сообщении #460663 писал(а):

Ни в какой точке не может не может выполняться неравенство $f(x)>x$ или $f(x)<x$.

Понял (по моему).
1) если $x<f(x) $, то $f(x)<f(f(x))$ ,$ f(f(x))<f(f(f(x)))=x$ - противоречие..
2) если $ x>f(x)$ , то $f(x)>f(f(x))$ ,$ f(f(x))>f(f(f(x)))=x$ - противоречие..
То есть наша решение f(x)=x.

[chessar]

myra_panama в сообщении #460682 писал(а):

То есть наша решение f(x)=x.

Видимо осталось только строгую монотонность $f$ показать, иначе эти выкладки необоснованны.

[myra_panama]

chessar в сообщении #460687 писал(а):

иначе эти выкладки необоснованны.

а это как это....