Интеграл по контуру с точкой разветвления.

[Morkonwen]

Здравствуйте. В последнее время много сталкиваюсь с интегралами вроде $\int_0^{2 \pi}} \frac{1}{\sqrt{3-1 \, \text{Sin}[x]}} \, dx$

Конкретно этот можно выразить в эллиптических, но если сделать заамену $z= e^{\iota x}$ получится интеграл по окружности. Но с точкой разветвления, так что контур вроде как незамкнутый. Можно ли как то это обойти и все-таки использовать вычеты?

[Sonic86]

Конечно можно, интегралы такого типа - стандартное задание на вычеты. Замена $e^{iz}=t$.

[ewert]

Morkonwen в сообщении #459682 писал(а):

Можно ли как то это обойти и все-таки использовать вычеты?

Можно, конечно. Только не через вычеты, а стянув контур к охватываеммому им разрезу. В результате чего интеграл сведётся к эллиптическим.

(Там нет ветвления на самом контуре, поскольку внутри окружности оказываются две точки ветвления: ноль и меньший из корней квадратного уравнения.)

[Morkonwen]

ewert в сообщении #459691 писал(а):

Можно, конечно. Только не через вычеты, а стянув контур к охватываеммому им разрезу. В результате чего интеграл сведётся к эллиптическим.

Так его можно выразить через эллиптический интеграл вообще без комплексного анализа просто заменой $x=\frac{3 \pi}{2}+2 \alpha$ Чем стягивание к контуру проще?

Вообще где можно прочитать про разветвления и про то как с ними обращатся?

Sonic86 в сообщении #459688 писал(а):

Конечно можно, интегралы такого типа - стандартное задание на вычеты. Замена $e^{iz}=t$.

Немного не понял. Сначала сделать мою замену для перехода в комплексные, а потом сделать вашу замену??

[Sonic86]

Morkonwen в сообщении #459705 писал(а):

Немного не понял. Сначала сделать мою замену для перехода в комплексные, а потом сделать вашу замену??

Ой! Извините, я у Вас

Цитата:

но если сделать заамену $z= e^{\iota x}$ получится интеграл по окружности.

проморгал именно так и надо начинать.
Точек разветвления вроде бы никаких не было
Посмотрите любой задачник, где вещественные интегралы считаются через вычеты (напр., Волковысский, Лунц, Араманович) - там есть аналогичные примеры.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #459766 писал(а):

Посмотрите любой задачник, где вещественные интегралы считаются через вычеты

Тут вычеты не при чём -- внутри контура действительно содержится разрез (между двумя точками ветвления).

Morkonwen в сообщении #459705 писал(а):

Так его можно выразить через эллиптический интеграл вообще без комплексного анализа просто заменой $x=\frac{3 \pi}{2}+2 \alpha$ Чем стягивание к контуру проще?

А я ровно об этом -- что ничем. Раз уж выражается именно через эллиптические, а эллиптические через элементарные функции не выражаются -- значит, так тому и быть. Природу не обманешь.

[Morkonwen]

(Оффтоп)

$<div class=