Задача на проценты (3 пакета акций)

[Edmonton]

Условие: Имеются три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 до 20 долларов, а цена одной акции из третьего пакета не меньше 42 и не больше 60 долларов. Какой наименьший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете? какой наибольший?

Очевидно, что по стоимости первый пакет составляет 10 % от общей стоимости трёх пакетов. Что с этим делать-я не представляю. Пробовал поделить количество первых двух пакетов на стоимость двух пакетов, приравнивая к цене акции третьего пакета. Ничего не дало. Подскажите, что в этой задаче можно сделать?

[alisa-lebovski]

Обратитесь в раздел "Экономика и финансовая математика".

[Edmonton]

Была такая мысль, просто задача из учебника по алгебре.
Т.е. как-перенести существующую тему в раздел или начать новую?

[Joker_vD]

alisa-lebovski
Никакая это не "Экономика и финансовая математика". Если принять предположение, что внутри пакета все акции стоят одинаково, то это — задача на решение такой вот задачи ($n_i$ — количество акций в $i$-ом пакете, $p_i$ — цена одной акции из $i$-го пакета):

$$f(n_1,n_2,n_3) = \frac{n_1}{n_1+n_2+n_3} \to \min, \max$$

$$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{rcl} n_1 + n_2 &=& n_3, \\ 4 n_1 p_1 &=& n_2 p_2, \\ n_1 p_1 + n_2 p_2 &=& n_3 p_3, \end{array}\\ \begin{array}{c} 16 \leqslant p_2 - p_1 \leqslant 20, \\ 42 \leqslant p_3 \leqslant 60. \end{array}\end{array}\right. $$

Идей, как это решать, увы, что-то нет... не, можно положить $p_1$ как параметр и перебрать все возможные $p_2,p_3$, решая всякий раз равенства, после чего проверять значения целевой функции. Но это лучше компьютеру подходит. Наверное, можно как-то повертеть связи и чего-нибудь совсем выкинуть... надо смотреть.

(Оффтоп)

Кто-нибудь может научить, как набирать такие системы по-человечески?

Хм, если я не ошибся в преобразованиях, то $n_i$ исключаются и целевую функцию можно записать как $\frac{p_3}{10 p_1}$. Странно.

[Edmonton]

Joker_vD в сообщении #459293 писал(а):

alisa-lebovski
Никакая это не "Экономика и финансовая математика". Если принять предположение, что внутри пакета все акции стоят одинаково, то это — задача на решение такой вот задачи ($n_i$ — количество акций в $i$-ом пакете, $p_i$ — цена одной акции из $i$-го пакета):

$$f(n_1,n_2,n_3) = \frac{n_1}{n_1+n_2+n_3} \to \min, \max$$

$$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{rcl} n_1 + n_2 &=& n_3, \\ 4 n_1 p_1 &=& n_2 p_2, \\ n_1 p_1 + n_2 p_2 &=& n_3 p_3, \end{array}\\ \begin{array}{c} 16 \leqslant p_2 - p_1 \leqslant 20, \\ 42 \leqslant p_3 \leqslant 60. \end{array}\end{array}\right. $$

Идей, как это решать, увы, что-то нет... не, можно положить $p_1$ как параметр и перебрать все возможные $p_2,p_3$, решая всякий раз равенства, после чего проверять значения целевой функции. Но это лучше компьютеру подходит. Наверное, можно как-то повертеть связи и чего-нибудь совсем выкинуть... надо смотреть.

(Оффтоп)

Кто-нибудь может научить, как набирать такие системы по-человечески?

Хм, если я не ошибся в преобразованиях, то $n_i$ исключаются и целевую функцию можно записать как $\frac{p_3}{10 p_1}$. Странно.

Да, у меня тоже такое было. У меня было два варианта этой функции, один, как вы указали, а второй-где я не пользовался равенством Стоимости сумм первого и второго пакета и стоимости третьего пакета. Из него я могу выразить любую цену, и получилась система с одним уравнением и 4 неравенствами. Но я не умею такого решать.

[Joker_vD]

Тут странно, что если я решал верно, то ответ — "любой процент". Но тогда зачем даны неравенства? А! Стоп. $n_i$ должны помимо всего быть целыми. Таааак...

[Edmonton]

Joker_vD в сообщении #459322 писал(а):

Тут странно, что если я решал верно, то ответ — "любой процент". Но тогда зачем даны неравенства? А! Стоп. $n_i$ должны помимо всего быть целыми. Таааак...

Ответ-от 12.5% до 15%

[alisa-lebovski]

Ничего себе стали учебники по алгебре! Ссылку можно?

[Gortaur]

Можно ввести напрямую долю $k$ и получить уравнение $n_1 = k(n_1+n_2+n_3)$. Посмотрим, что будет при $k=0.1$ - судя по ответу, не должно быть решений системы.

[Edmonton]

alisa-lebovski в сообщении #459736 писал(а):

Ничего себе стали учебники по алгебре! Ссылку можно?

3600 задач по алгебре и началам анализа, Серия-Большая библиотека "Дрофа" , Авторы-Звавич, Шляпочник, Чинкина.

[Gortaur]

Edmonton
Кстати, со звездочкой?

[Edmonton]

Gortaur в сообщении #460061 писал(а):

Edmonton
Кстати, со звездочкой?

Нет

[Edmonton]

Давно тут ничего никто не писал, поэтому надежда на помощь у меня слабая...

Но я вот, решая эту задачу, пришёл к нескольким выводам.

Первое, и к этому пришёл не только я, так как это лежит на поверхности, $k_1=\frac{p_3}{10p_1}$
Второе, не сложнее, но туманнее: $p_1=\frac{p_3-v_1+\sqrt{p_3^2-1,2v_1p_3+v_1^2}}{2}$

Подставляя в выражение для $k_1$ выражение для $p_1$ можно получить большую-пребольшую функцию от $v_1$ (которое равно 16, 17, 18, 19 или 20) и от $p_3$ (которое равно 42, 43, 44...58, 59, 60).

Во-первых, дифференцированию такая функция ну просто не поддаётся, поэтому анализировать её-решение очень смелое.
Во-вторых, набрав выражение для функции в паскале, я получил максимальный процент 15 при числах [20;42] и минимальный - 12,5 при числах [16;60]

Наверняка есть и другой способ, кроме перебора с помощью компьютера 95 различных случаев с тем, чтобы получить то, что вроде бы на поверхности.

[tess]

Количества акций в пакетах относятся как a:b:(a+b), стоимости пакетов как 1:4:5. Возьмём 16 и 42 долларов. Тогда 4Ч42(a+b)/5b – 1Ч42(a+b)/5a = 16. Обозначив
a/b = x, получаем квадратное уравнение 4х+3 – 1/x = 80/42 (1). Отсюда х = 0,3815, a искомый процент 100a/(2a+2b) = 13,8.
Если взять, например, 16 и 60 долларов, то уравнение (1) будет выглядеть как
4х+3 – 1/x = 80/60 и т.д. Если есть желание, можно проанализировать, как зависит х в (1) от величины правой части и найти минимум и максимум.

[Edmonton]

tess в сообщении #462715 писал(а):

Возьмём 16 и 42 долларов. Тогда 4Ч42(a+b)/5b – 1Ч42(a+b)/5a = 16.

Поясните эту строчку, пожалуйста.