Матрица линейного оператора, терминология

[Joker_vD]

Пусть у нас есть $L$ — конечномерное векторное пространство над полем $k$, $\dim_k L=n$, и $A\colon L\to L$ — линейный оператор. Если зафиксировать в $L$ некий базис $\mathbf e=\{e^1,\ldots,e^n\}$, то можно ввести понятие матрицы линейного оператора в этом базисе. Это будет матрица $n\times n$, которая в каждом базисе будет разная. Поэтому отождествление линейного оператора и его матрицы можно проводить только при жестко выбранном базисе. Это все мне известно.

Но рассмотрим такой частный случай, когда $L=k^n$. Не вводя никакого базиса, мы, тем не менее, можем умножать матрицы $n\times n$ на элементы $k^n$. При этом умножение на матрицу $A$ является линейным оператором, и более того, всякий линейный оператор в $k^n$ можно задать как умножение на некоторую матрицу. Вопрос: можно ли в этом случае говорить, что линейный оператор является матрицей? Базис, напомню, мы пока еще никакой не вводили.

[caxap]

(Мнение студента)

Joker_vD в сообщении #454754 писал(а):

Базис, напомню, мы пока еще никакой не вводили.

Вводили (неявно): $e_i=(0,...,1,...,0)$ ($1$ на $i$-ом месте). Элементы $k^n$ нельзя умножать на матрицы, перед этим нужно отождествить $k^n$ с пространством матриц $\mathrm{M}_{n,1}(k)$ размера $n\times 1$ над полем $k$ посредством изоморфизма, вызванного неявным выбором того естественного базиса.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #454754 писал(а):

Вопрос: можно ли в этом случае говорить, что линейный оператор является матрицей?

Если нельзя, но очень хочется, то можно (c). Но вообще-то нельзя. Оператором является умножение на эту матрицу.

Joker_vD в сообщении #454754 писал(а):

Базис, напомню, мы пока еще никакой не вводили.

Это Вам так кажется. Неявно Вы ввели канонический базис (каждый столбец из которого содержит в соответствующей позиции единицу, а все остальные позиции нулевые). Вот в этом-то базисе матрица оператора умножения и совпадает с исходной матрицей.

-- Пн июн 06, 2011 17:36:18 --

caxap в сообщении #454765 писал(а):

Элементы $k^n$ нельзя умножать на матрицы,

Можно.

[Joker_vD]

ewert в сообщении #454766 писал(а):

Оператором является умножение на эту матрицу.

Это да. Главное, что матрица тут одна-единственная и уникальная.

ewert в сообщении #454766 писал(а):

Это Вам так кажется. Неявно Вы ввели канонический базис (каждый столбец из которого содержит в соответствующей позиции единицу, а все остальные позиции нулевые). Вот в этом-то базисе матрица оператора умножения и совпадает с исходной матрицей.

Не соглашусь. Если мы введем этот базис, то да, можно будет разложить векторы из $k^n$ по этому базису, получить координатные векторы из $k^n$ (которые по случайности совпадут с исходными) и т.д. Но я его не ввожу. Просто есть конкретные $n$-ки, с которыми я как-то работаю.

Вообще, я как себе представляю эту аппаратуру (могу и ошибаться): Есть векторное пространство. Его элементы — этакая "вещь в себе". Оператор как-то там на эти векторы действует, одни в другие переводит, все это "бескоординатно". Вводим базис. Тут же каждый вектор получает свое представление в виде $n$-ки чисел, оператор же получает представление в виде матрицы. То есть, чтобы узнать образ вектора, можно перейти из пространства с "настоящими" векторами в координатное, там умножить матрицу на вектор, и перейти обратно в "настоящее" пространство.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #454786 писал(а):

оператор же получает представление в виде матрицы.

да что за набор слов. Просто есть понятие оператора, а есть -- матрицы этого оператора в некотором базисе (строже говоря, в некоторой паре базисов). И они -- разные. Конкретно: матрица оператора умножения на матрицу, если в каноническом базисе -- с исходной матрицей и совпадает (естественно), вот и всё.