Вычислить

[age]

Пусть $p\in\mathbb{N}$. Вычислить $\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+...}}}}$

(Оффтоп)

Самое интересное для любых $p=a(a+1)$ данные числа будут целыми.

[MrDindows]

age в сообщении #450245 писал(а):

Пусть $p\in\mathbb{N}$. Вычислить $\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+...}}}}$

(Оффтоп)

Самое интересное для любых $p=a(a+1)$ данные числа будут целыми.

Ну дык
$x^2=p+x$
$x=\frac{1+\sqrt{1+4p}}{2}$
$x=a+1$

[age]

К сожалению элементарно

[MrDindows]

age в сообщении #450256 писал(а):

К сожалению элементарно

А если так?)
Вычислить $\sqrt{p-\sqrt{p+\sqrt{p-\sqrt{p+...}}}}$

[age]

А вот так интереснее. Надо подумать.

-- Чт май 26, 2011 00:42:09 --

Там повторится через 4-ю степень (т.е. два раза нужно возводить в квадрат).

[MrDindows]

Да...ответ красивый)

(Оффтоп)

$x=\frac{\sqrt{4p-3}-1}{2}$

-- Чт май 26, 2011 00:04:23 --
1)Вычислить $\sqrt{p+\sqrt{p-\sqrt{p+\sqrt{p-...}}}}$
+ - + - + - . . .

2)Вычислить $\sqrt{p+\sqrt{p-\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p-\sqrt{p+...}}}}}}$
Знаки чередуются: + - +, + - +, + - +...

-- Чт май 26, 2011 00:14:17 --

Интересно, а для таких штуковин, какой бы большой цикл не сделать, всегда ответ "красивый" будет?)

[Equinoxe]

А что если вообще без циклов? Например +-++--+++--- или конкатенация всех двоичных чисел — +, +-, ++, +--, …? Есть ли для каких-нибудь таких ответ?

[age]

Equinoxe в сообщении #451103 писал(а):

А что если вообще без циклов? Например +-++--+++--- или конкатенация всех двоичных чисел — +, +-, ++, +--, …? Есть ли для каких-нибудь таких ответ?

Годная переформулировка! Но по-моему ответа нет по той самой причине, почему если степени двойки выписать после нуля и запятой - то будет число иррациональное.

[Equinoxe]

age, а если с коэффициентом?
К примеру, \sqrt{x+C^1\sqrt{x+C^2\sqrt{x+C^2\cdots}}}}
С — какая-нибудь константа.
Пойду подумаю, вдруг что-нибудь такое можно…

[age]

Equinoxe в сообщении #452046 писал(а):

К примеру, $\sqrt{x+C^1\sqrt{x+C^2\sqrt{x+C^2\cdots}}}}$
С — какая-нибудь константа.

Для вашего случая, если $C=2$, а $x=1$ для ряда $A_{20}$ получается $4.1402085339...$, но он продолжает расти, т.к. степени коэффициентов становятся очень большими (хоть и слабее корней, поэтому ряд сходится). Если $C=3$, то получается уже $9.0582382122...$


А я нашёл вот что. Например, если вот так $\sqrt{p+2\sqrt{p+3\sqrt{p+4\sqrt{p+...}}}}=3$ при $p=1$. Для других $p<100$ больше целых значений нет. Но решение мне неизвестно. Видимо это какой-то ряд (последовательность), где между $A_n$ и $A_{n+1}$ есть какая-то связь. Вот эту связь и надо как-то изобразить, но пока в голову не возьму как

-- Пн май 30, 2011 23:04:32 --

Т.е. по методу, предложенному MrDindows получится примерно так: $A_1^2=p+2A_2$ (здесь $A_1, A_2$ заменяют $x$ в решении MrDindows). Но они не равны, нужно показать какую-то функциональную связь между ними, но я пока не знаю как.

-- Пн май 30, 2011 23:19:53 --

Да, все вообще $\sqrt{1+C_1\sqrt{1+(C_1+1)\sqrt{1+(C_1+2)\sqrt{1+...}}}}=(C_1+1)$. Никакого объяснения этому пока не вижу.

[age]

Кажется нашёл удивительное решение. Предлагаю задачу:

Доказать, что $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\sqrt{1+...}}}}=1+C$.

[age]

Вот и решение для любых $p$:
$\sqrt{p+C\sqrt{p+(C+1)\sqrt{p+(C+2)\sqrt{p+...}}}}=\dfrac{C+1}{2}+\dfrac{\sqrt{(C+1)^2+4p-4}}{2}$.

-- Вт май 31, 2011 09:29:50 --

Equinoxe
Кажется Ваше $\sqrt{x+C^1\sqrt{x+C^2\sqrt{x+C^3\cdots}}}}$ тоже можно вычислить, но это уже сложнее.

[Equinoxe]

age, супер :)
Тоже нашла эту формулу — сейчас попробую дать на другом форуме :)

[Sonic86]

Тождество с радикалами есть у Рамануджана. Может стоит аналогичные формулы тоже у него поискать?
http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

[Equinoxe]

Sonic86, ну вооот, Рамануджан придумал всё до нас :(
А я уже запостила на есаенсе… Ну ладно, быть может, кому-нибудь понравится :)