Пересечение гиперплоскостей

[serval]

Здравствуйте.

Пусть заданы две гиперплоскости размерности $N=4$:
1-я гиперплоскость имеет вектор нормали $\vec n_1=(1,0,0,0)$ и проходит через точку $A(1,0,0,0)$,
2-я гиперплоскость имеет вектор нормали $\vec n_2=(1,2,3,4)$ и проходит через начало координат $O(0,0,0,0)$.
Как найти их пересечение?

Пожалуйста, покажите.

[Sonic86]

В каком виде пересечение Вам находить (их 2: через СЛУ или через базис решений, параметрически)? В любом случае, 2-й вид получается из 1-го, 1-й вид получается через пересечение заданных гиперплоскостей. Гиперплоскости стандартно задаются в виде $a_1x_1+...+a_rx_r+c=0$. Считайте. Или в чем проблемы?

[zhekas]

serval в сообщении #447522 писал(а):

Здравствуйте.

Пусть заданы две гиперплоскости размерности $N=4$:
1-я гиперплоскость имеет вектор нормали $\vec n_1=(1,0,0,0)$ и проходит через точку $A(1,0,0,0)$,
2-я гиперплоскость имеет вектор нормали $\vec n_2=(1,2,3,4)$ и проходит через начало координат $O(0,0,0,0)$.
Как найти их пересечение?

Пожалуйста, покажите.

первая гиперплоскость задаётся уравнением

$$x_1-1=0$$

вторая:

$$x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0$$

решаем систему

$$\left\{\begin{array}{l} x_1-1=0\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0 \end{array}\right.$$

откуда

$$\left\{\begin{array}{lrrr} x_1=&1 +&0\cdot t + &0\cdot s\\ x_2=&-\frac12 +&\left(-\frac32\right)\cdot t+&(-2)\cdot s\\ x_1=&0 +&1\cdot t + &0\cdot s\\ x_1=&0 +&0\cdot t + &1\cdot s \end{array}\right.$$

то есть получили плоскость заданную начальной точкой и двумя векторами

[serval]

Цитата:

Считайте. Или в чем проблемы?

Как посчитать?
Я попросил 4-мерный пример чтобы понять алгоритм. Вообще, мне нужно искать пересечения двух гиперплоскостей произвольной размерности.

Правильно ли я понял, что два последних вектора должны иметь индексы $3$ и $4$ соответственно?
И почему двумя векторами, а не тремя?

[ИСН]

Там ровно то же самое. То есть тоже два вида, и сначала надо понять, какой Вам нужен.

[serval]

А что будет пересечением двух $4$-мерных плоскостей? А двух $N$-мерных? Если $(N-1)$-мерная гиперплоскость, то мне нужно $N-1$ линейно независимых векторов принадлежащих этой гиперплоскости.

Вообще, мне нужно посмотреть на все целые точки принадлежащие такому пересечению.

[Sonic86]

serval писал(а):

А что будет пересечением двух $4$-мерных плоскостей? А двух $N$-мерных?

Считаем, что размерность пространства равна $D$ (ее нужно знать, чтобы вычислить размерность пересечения плоскостей). Плоскость размерности $N, 0 \leq N \leq D$ описывается СЛУ размерности $D-N$ с матрицей того же ранга. Пересечение плоскостей задается системой из уравнений, задающих обе плоскости - $2(D-N)$ уравнений, а значит размерность пересечения плоскостей равна ... (ну угадайте уже, чему она равна , все просто, сделайте, пожалуйста, вывод) в общем случае. Вообще - зависит от ранга составленной матрицы, но не выше этого значения. Тем более еще надо смотреть на совместность расширенной матрицы и т.п. - в общем сплошная линейная алгебра. СЛУ решали? Вот это оно самое и есть...

-- Чт май 19, 2011 21:19:22 --

Насчет целых точек сформулируйте вопрос подробнее немного. Вообще они там также располагаются, как и в плоском и трехмерном случае - их число чуть меньше объема области.

[serval]

Цитата:

Насчет целых точек сформулируйте вопрос подробнее немного.

Для примера, рассмотрим привычный $3$-мерный куб с центром в начале координат и вершинами $(1,1,1),\ (1,1,-1),\ (1,-1,1),\ (1,-1,-1),\ (-1,1,1),\ (-1,1,-1),\ (-1,-1,1),\ (-1,-1,-1)$.
Пусть через начало координат проходит плоскость имеющая вектор нормали $\vec n_{31}=(1,2,3)$.
Эта плоскость пересечет поверхность данного куба в двух целых точках - $(1,1,-1)$ и $(-1,-1,1)$. Нас будут интересовать точки первого вида - с $-1$ на последней ненулевой позиции.
Далее, рассмотрим, например, $7$-мерный аналог описанного куба и его сечение гиперплоскостью с вектором нормали $\vec n_{71}=(1,2,3,4,5,6,7)$.
Эта гиперплоскость пересечет поверхность гиперкуба в следующих целых точках (интересующего нас вида):
$3$-мерные вершины
$(1,0,0,0,0,1,-1),\ (0,1,0,0,1,0,-1),\ (0,0,1,1,0,0,-1),\ (1,0,0,0,1,-1,0),$
$(0,1,0,1,0,-1,0),\ (1,0,0,1,-1,0,0),\ (0,1,1,0,-1,0,0),\ (1,0,1,-1,0,0,0),\ (1,1,-1,0,0,0,0)$.
$4$-мерные вершины
$(1,1,0,1,0,0,-1),\ (1,1,1,0,0,-1,0)$.
Нас будут интересовать только $3$-мерные вершины.
Далее, я подействую на вектор нормали $\vec n_{71}$ линейным оператором, назовем его $B$, и получу другой вектор нормали $\vec n_{72}$.
Мне нужно найти целые точки интересующего меня вида - $3$-мерные вершины с $-1$ на последней ненулевой позиции - в которых новая гиперплоскость пересечет поверхность старого гиперкуба.
Для этого я намеревался рассмотреть пересечение указанной гиперплоскости с гранями гиперкуба.
Может быть, существует какой-либо более экономный способ?

[Sonic86]

serval писал(а):

$3$-мерные вершины
...
$4$-мерные вершины
$(1,1,0,1,0,0,-1),\ (1,1,1,0,0,-1,0)$.

Так неправильно говорить. Правильно: вершины с $k$ ненулевыми элементами.

serval писал(а):

Далее, я подействую на вектор нормали $\vec n_{71}$ линейным оператором, назовем его $B$, и получу другой вектор нормали $\vec n_{72}$.

$B$ произвольное? (если да, то зачем $n_{71}$, просто переходите к $n_{72}$ произвольного вида, если нет, то об этом нужно писать).

serval писал(а):

Мне нужно найти целые точки интересующего меня вида - $3$-мерные вершины с $-1$ на последней ненулевой позиции - в которых новая гиперплоскость пересечет поверхность старого гиперкуба.

Если задано, что $x_D=-1$, то можно его подставить в соответствующую систему уравнений, упростить систему и решать дальше, без этого ограничения. в общем случае ... Хотя хочется еще что-то знать или не знать о $B$.

[ИСН]

Sonic86 в сообщении #447830 писал(а):

Так неправильно говорить. Правильно: вершины с $k$ ненулевыми элементами.

Это не вершины вообще ни разу. Это середины каких-то промежуточных (гипер)граней.

[Sonic86]

ИСН писал(а):

Это не вершины вообще ни разу.

А, ну ладно: точки

[serval]

Цитата:

Так неправильно говорить. Правильно: вершины с ненулевыми элементами.

Верно. Благодарю за подсказку.

Цитата:

$B$ произвольное?

Нет, не произвольный. Он отображает вектор $(1,2,3,\ \dots)$ в вектор $(1^2,2^2,3^2,\ \dots)$. Если нужно, могу выписать в явном виде.

Цитата:

Это не вершины вообще ни разу.

Пусть вершины квадрата будут центрами ребер куба.

[Sonic86]

serval писал(а):

Нет, не произвольный. Он отображает вектор $(1,2,3,\ \dots)$ в вектор $(1^2,2^2,3^2,\ \dots)$.

Ну раз так, то про $n_{71}$ временно забудьте, начинайте работать сразу с $n_{72}$. Выпишите систему "линейных" уравнений (гиперкуб, получается, тоже не при чем - его можно не рассматривать), подставьте $x_D=-1$, упростите, ну а потом пытайтесь решить. Она решается сразу.

З.Ы. Блин, я, может быть, задание не понял, слишком просто все вышло
М.б. Вы запишите задачу целиком и полностью? Без пробелов, дополнений, с формулами. Какой вообще ориентировочный уровень сложности и предполагаемый способ решения задачи?

[serval]

Цитата:

гиперкуб, получается, тоже не при чем - его можно не рассматривать

Ограничимся размерностью $D$. Значение $-1$ может принять не только $D$-я координата целой точки, а любая ее координата. Но позиция этой координаты должна быть старшей, проще говоря, правее нее все координаты должны иметь значение $0$. А левее нее должно быть лишь две ненулевых координаты - обе со значением $1$.
Все интересующие меня целые точки принадлежат сечению поверхности гиперкуба гиперплоскостью. Кроме того, все они принадлежат $D-1$-мерной (гипер?)окружности радиуса $R=\sqrt 3$ и c центром в начале координат.
Видно, что в случае, когда гиперплоскость имеет вектор нормали $\vec n_{D1}=(1,2,3,\ \dots)$ все эти целые точки устроены одинаково - сумма номеров позиций двух координат со значением $1$ равна номеру позиции координаты со значением $-1$.
Вопрос - сколькими способами можно "надеть" такую (гипер?)окружность на такой гиперкуб так, чтобы указанное правило суммы не выполнялось?

Пример "надевания" окружности на куб: Рассечем куб с центром в начале координат и ребром длины $2$ плоскостью с вектором нормали $\vec n=(1,1,1)$. Тогда все целые точки принадлежащие сечению поверхности куба этой плоскостью будут принадлежать окружности радиуса $R=\sqrt 2$ и c центром в начале координат - $(1,-1,0),\ (1,0,-1),\ (0,1,-1),\ (-1,1,0),\ (-1,0,1),\ (0,-1,1)$ - и образуют правильный шестиугольник.

Кроме того, возможно будет полезен явный вид матрицы линейного оператора $B$ отображающего вектор нормали $\vec n_{D1}=(1,2,3,\ \dots)$ в другой вектор нормали $\vec n_{D2}=(1^2,2^2,3^2,\ \dots)$ для которого заведомо известно правило расстановки ненулевых координат (интересующих нас) целых точек - номера их позиций составят Пифагоровы тройки.

[serval]

Я забыл указать второй способ "надевания" той же окружности на тот же куб: Пусть секущая плоскость имеет вектор нормали $\vec e_1=(1,0,0)$. Тогда окружность радиуса $R=\sqrt 2$ с центром в начале координат коснется поверхности куба в точках $(0,1,1),\ (0,1,-1),\ (0,-1,1),\ (0,-1,-1)$.
Что интересно, окружность нельзя просто повернуть от первого положения ко второму на оси проходящей через две общие для обоих способов целых точки - $(0,1,-1)$ и $(0,-1,1)$, ее придется "снять" с куба и затем вновь "надеть" на него.