2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 17:22 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
На какое наименьшее простое число может делиться трином $n^2+7n+53$ при некотором целом (не обязательно натуральном) $n$?
Ответ обосновать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 17:30 
Заслуженный участник


20/12/10
9049
Xenia1996 в сообщении #443616 писал(а):
На какое наименьшее простое число может делиться трином $n^2+7n+53$ при некотором целом (не обязательно натуральном) $n$?
Ответ обосновать.

Трином --- это забавно :-) Ксения, а Вы знаете, насколько у Вашего тринома шикарный дискриминант? Мне вспомнилась по этому поводу такая задача (из народной коллекции вступительных задач в аспирантуру): доказать, что число $e^{\pi\sqrt{163}}$ (не поверите, но это так :-) ) --- целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 17:37 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #443617 писал(а):
Трином --- это забавно :-) Ксения, а Вы знаете, насколько у Вашего тринома шикарный дискриминант? Мне вспомнилась по этому поводу такая задача (из народной коллекции вступительных задач в аспирантуру): доказать, что число $e^{\pi\sqrt{163}}$ (не поверите, но это так :-) ) --- целое.

Давайте по порядку.
Дискриминант равен $-163$.
Но Ваше число такое же целое, как я - Алла Пугачёва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 17:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9049
Xenia1996 в сообщении #443619 писал(а):
nnosipov в сообщении #443617 писал(а):
Трином --- это забавно :-) Ксения, а Вы знаете, насколько у Вашего тринома шикарный дискриминант? Мне вспомнилась по этому поводу такая задача (из народной коллекции вступительных задач в аспирантуру): доказать, что число $e^{\pi\sqrt{163}}$ (не поверите, но это так :-) ) --- целое.

Давайте по порядку.
Дискриминант равен $-163$.
Но Ваше число такое же целое, как я - Алла Пугачёва.

Неправда, оно равно $262537412640768744$. Ну, почти (это почти очень-очень мало, $10^{-12}$ кажется). И это неспроста. Вот такое вот чудо природы (Рамануджан открыл). А про $-163$, если будет интересно, попозже могу рассказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 17:56 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #443622 писал(а):
Ну, почти (это почти очень-очень мало, $10^{-12}$ кажется).

(Оффтоп)

Почти - это как? Почти инфаркт или почти газы?

http://www.google.co.il/search?q=%22%D0 ... mages&tbs=

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 18:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9049
Xenia1996 в сообщении #443624 писал(а):

(Оффтоп)

Почти - это как? Почти инфаркт или почти газы?
http://www.google.co.il/search?q=%22%D0 ... mages&tbs=

(Оффтоп)

Почти --- это вот так $262537412640768743.99999999999925\ldots$

Кстати, у Эйлера было $n^2+n+41$. И результат можно получить без вычислений (но опираясь на тот факт, что кольцо целых чисел поля $\matbb{Q}(\sqrt{-163})$ факториально).

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 18:07 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #443622 писал(а):
А про $-163$, если будет интересно, попозже могу рассказать.

Интересно так, что аж искры из глаз. Только давайте отдельную тему для этого откроем, ок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 18:12 
Заслуженный участник


20/12/10
9049
Xenia1996 в сообщении #443632 писал(а):
nnosipov в сообщении #443622 писал(а):
А про $-163$, если будет интересно, попозже могу рассказать.

Интересно так, что аж искры из глаз. Только давайте отдельную тему для этого откроем, ок?

Можно и здесь, ведь ровно об этом и речь. Но мне нужно некоторое время, чтобы отыскать файл с соответствующим материалом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 18:18 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #443634 писал(а):
Можно и здесь, ведь ровно об этом и речь. Но мне нужно некоторое время, чтобы отыскать файл с соответствующим материалом.

Ладушки, ждём-с.

(Оффтоп)

Жду ответа, как соловей лета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 19:06 
Заслуженный участник


20/12/10
9049
Ну вот, кажется, вспомнил. Будем рассматривать числа вида $\alpha=a+b\omega$, где $a$, $b$ --- целые числа, а $\omega=(1+\sqrt{-163})/2$. Оказывается, для этих чисел можно построить арифметику, сходную по свойствам с арифметикой целых чисел. В частности, здесь будет справедлива основная теорема арифметики --- о единственности разложения в произведение простых чисел (число $\alpha$ указанного вида называется простым, если оно не представимо в виде произведения $\alpha_1\alpha_2$ чисел такого же вида, где каждое $\alpha_i$ отлично от $\pm 1$). В это утверждение придется поверить, поскольку доказательство очень не школьное (и элементарного доказательства скорее всего нет). Так вот, утверждение Эйлера (о том, что при $x=0,1,\dots,39$ трёхчлен $x^2+x+41$ принимает простые значения) сводится к следующему: число $\alpha=x+\omega$ будет простым при указанных значениях $x$. Доказывается это в лоб: пусть $x+\omega=(a+b\omega)(c+d\omega)$, тогда
$$ \left\{
 \begin{array}{l}
 (2a+b)d+b(2c+d)=2,\\
 (2a+b)(2c+d)-163bd=4x+2.
 \end{array}
 \right.
$$
Анализируя эту систему равенств, легко обнаружить, что $b=0$ или $d=0$. Следовательно, число $x+\omega$ имеет только тривиальное разложение.

Пару слов о том, почему $-163$ и не больше. Оказывается, больше не бывает. То есть если $-163$ заменить чем-то отрицательным и большим по абсолютной величине, то будет потеряно свойство однозначного разложения на простые сомножители (ещё более сложная теорема, доказанная где-то в середине 20-го века). Вот поэтому Эйлер и не нашёл ничего более интересного, чем $x^2+x+41$.

Ксения, теперь давайте Ваше рассуждение. Мне очень любопытно, как Вы сократили перебор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Эти числа, которые вот как 163, меня убивают. (Там их ещё несколько штук, но остальные меньше.) Я бы понял, будь их бесконечно много, и у каждого следующего пи-на-корень всё ближе к целому. Или будь их парочка среди первых простых. Или не будь их совсем. Но так! Почему? Откуда это? Что же, раз так, теперь всё можно? Режь, убивай, души гусей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 19:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
$n^2+7n+53=(n+3)^2+(n+3)+41.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 19:28 
Заслуженный участник


20/12/10
9049
ИСН в сообщении #443657 писал(а):
Эти числа, которые вот как 163, меня убивают. (Там их ещё несколько штук, но остальные меньше.) Я бы понял, будь их бесконечно много, и у каждого следующего пи-на-корень всё ближе к целому. Или будь их парочка среди первых простых. Или не будь их совсем. Но так! Почему? Откуда это? Что же, раз так, теперь всё можно? Режь, убивай, души гусей?

Я же говорю, загадка природы. Как это Рамануджан увидел? Сколько гусей ему пришлось порешить ради вот этого, например:
$$
\left\{\frac{\ln{640320}}{\sqrt{163}}-\frac{\pi}{3}\right\}=0.99999999999999992\ldots
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 19:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
nnosipov писал(а):
То есть если $-163$ заменить чем-то отрицательным и большим по абсолютной величине, то будет потеряно свойство однозначного разложения на простые сомножители (ещё более сложная теорема, доказанная где-то в середине 20-го века).

Бухштаб с переделкой писал(а):
Доказано, что при $-500 000 000 < \Delta < -163$ числа $a+b\sqrt{\Delta}$ не обладают однозначным разложением на множители, а при $\Delta > -500 000 000$ существует самое большее одно такое $\Delta$ (Хейльбронн, Линфут, Лемер)

маленько дополнил :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Трином n^2+7n+53 и простое число
Сообщение08.05.2011, 19:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
У Бухштаб а старые данные. Уже доказано.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group