Теория вероятностей, ветвящиеся процессы

[T-Mac]

Добрый день!
Есть задача:

Показать что двойная производящая функция пары $X_n , X_m$ где $X_n$ -число частиц в n-ом поколении , равна $P_m(s_1P_{n-m}(s_2))$

Пытаюсь ее решить:

Двойная производящая ф-ия $X_n , X_m$ будет иметь вид (по опредлению) :
$\sum p_{j,k}s^js^k$, где $p_{j,k}=P[X_m=j, X_n=k]$
не могу понять как найти эту вероятность
пробовал через условную вероятность: $ P[X_m=j, X_n=k]=P[X_m=j | X_n=k]P[X_n=k]$, тут не понятно как найти $P[X_m=j | X_n=k]$
известно , что $P[X_i=k]=p_k $ влюбом поколении $i$
подскажите как найти какую-нибудь из этих вероятностей
или , может , я вообще не правильно начал решать эту задачу?

[--mS--]

T-Mac в сообщении #442655 писал(а):

или , может , я вообще не правильно начал решать эту задачу?

Да. Обратите внимание на вывод одинарной производящей функции. Разве там ищутся вероятности иметь сколько-то частиц в соответствующем поколении? Нет, не ищутся. Так отчего же Вы решили, что можно найти здесь совместные вероятности? Делайте так же, как для одинарной п.ф.

[T-Mac]

одинарная производящая ф-ия для н-го поколения $P_n=\sum p_is^i$
$P_{n+1}=P_1(P_n)$
не понимаю как это все может помочь для двойной п.ф.

[--mS--]

Я говорю НА ВЫВОД этой формулы обратите внимание, а не на ответ. Как это может помочь? Очевидно: вторая формула выводится так же, как и первая.

[T-Mac]

Я уже кучу времени потратил на решение этой задачи, и по-прежнему ничего разумного в голову не приходит, вывод я смотрел там рассматривается случайная величина $X_1$ ,далее рассматривается сл. величина $X_2=U_1+U_2+...+U_{X_1}$ , потом утверждается что второе это $X_1$-кратная композиция распределения $p_k$ отсюда и следует что $P_2(s)=P(P(s))$ - чем эти рассуждения могут помочь я не знаю

[--mS--]

"Потом утверждается", "отсюда и следует" - а откуда берётся это следование, Вы понимаете? Воспроизвести можете? Я пока никаких Ваших попыток решения, кроме неправильного определения двойной п.ф., не вижу.

(Оффтоп)

Ну, например,

$$\mathsf E s_1^{X_1}s_2^{X_2}=\mathsf E s_1^{X_1}s_2^{U_1+\ldots+U_{X_1}}=\sum_{k}\mathsf P(X_1=k)\mathsf E s_1^k s_2^{U_1+\ldots+U_k} = \sum_{k}\mathsf P(X_1=k) s_1^k \left(\mathsf E s_2^{U_1}\right)^k = $$

$$=\sum_{k}\mathsf P(X_1=k) \left(s_1 P_1(s_2)\right)^k =\ldots$$