Теория множеств (бинарные отношения)

[vlad_light]

Let $A=\{x,y\}$ be a set with two elements. Justify your answer for each item below.
(a) Make a complete list of all possible relations on the set A. Label each one for
quick reference. (Hint: matrices.)
(b) How many of these relations contain the pair (x; y)?
Насколько я понял, в пункте (а) может быть бесконечно много отношений.
Соответственно, в пункте (b) подходят все бинарные отношения, которых также бесконечно много.
Подскажите, пожалуйста!

[Xaositect]

Отношений в общем смысле действительно бесконечно много.
Но мне на основании хинта кажется, что здесь под отношением понимается бинарное отношение на множестве $A$. Прочитайте определение отношения, которое раньше в этой книге наверняка есть. Или это тест какой-то?
А бинарных отношений на конечном множестве конечное число. Вспомните определение отношения и выведите формулу для числа подмножеств конечного множества с $n$ элементами. Можно и с матрицами, если Вы знаете, какую матрицу с каждым бинарным отношением можно проассоциировать.
Ответ на (b) явно дан не подумав. Есть много бинарных отношений, которые пару $(x, y)$ не содержат. Например, пустое бинарное отношение вообще никаких пар не содержит.

[vlad_light]

Ну, пускай это будет тест:)
Насколько я понял, конечное множество $X$ имеет $2^{|X|}$ подмножеств. Правильно?
Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи.
Как это связать кол-во подмножеств с кол-вом отношений и при чём тут матрицы - понять не могу. Намекните?
В пункте (b) я имел ввиду, что существует бесконечно много бинарных отношений, которые содержат эту пару. Почему их, как Вы говорите, конечное кол-во - понять не могу.
Спасибо!

[_hum_]

Бинарное_отношение

[Xaositect]

vlad_light в сообщении #440507 писал(а):

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи.

Дайте формальное определение бинарного отношения.

[vlad_light]

$2^A=\{\{x,y\},\{x\},\{y\},0\}$
Т.е. всего у нас будет 12 бинарных отношений, правильно?
n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах $M_1,...,M_n$, называется подмножество прямого произведения этих множеств.

[Xaositect]

Откуда 12-то?

Определение правильное.
Теперь давайте более конкретно. Что называется бинарным отошением на множестве $A$? Приведите пример такого отношения.

[vlad_light]

$R$ называют бинарным отношением на множестве $A$, если $R\subset A\times A$.
Например, отношение равенства "=". $xRy$ <=> $x=y$.
Значит все отношения будут:
$xRy, yRx$? Или нужно ещё брать тривиальные подмножества?

[Xaositect]

Напишите явно (перечислите элементы) множество $A\times A$. Сколько у него элементов? Сколько у него будет подмножеств?

[vlad_light]

$A\times A=\{x,y\}\times\{x,y\}=\{\{x\}\times \{x\},\{x\}\times \{y\},\{y\}\times \{x\},\{y\}\times \{y\}\}=\{(x,x),(x,y),(y,x),(y,y)\}$
Получается всего 4 элемента, т.е. 16($=2^4$) подмножеств. Так правильно?

[Kallikanzarid]

Да.

[arseniiv]

Только лучше вот это: $\{\{x\}\times \{x\},\{x\}\times \{y\},\{y\}\times \{x\},\{y\}\times \{y\}\}$ не писать. У этой записи совершенно другой смысл. И равна она будет вообще $\{\{(x,x)\},\{(x,y)\},\{(y,x)\},\{(y,y)\}\}$.

[vlad_light]

Разницу понял.
Теперь вернусь к моему примеру. Т.е. у меня получается всего 16 бинарных отношений на множестве А. Это и будет ответом на пункт (b)?
В пункте (а) нужно указать все возможные отношения, т.е. н-арные. Разве их не бесконечное количество? И как их охарактеризовать с помощью матриц?
Есть ещё пару задачек:
Вычислить пределы используя сумму Римана:
$lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}(1+\sqrt{\frac{1}{n}+1}+\sqrt{\frac{2}{n}+1}+...+\sqrt{2})$
$lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}sin{\frac{\pi i}{2n}}$
Сумма Римана:
$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$, где $x_i$ - разбиение отрезка$[a,b]$ на n частей, а $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$.
Мне кажется, что здесь $x_i-x_{i-1}=\frac{1}{n}$. Что делать с остальным?

[ewert]

vlad_light в сообщении #440655 писал(а):

Что делать с остальным?

Угадать, что тут будет $a$, $b$ и какие конкретно $\xi_i$ дадут ровно такие интегральные суммы, какие предложены.

Небольшой нюанс: в первом случае сумма -- формально говоря, не интегральная, в ней одно лишнее слагаемое (или первое, или последнее). Ну так надо его просто отделить от остальной суммы, оно в пределе всё равно даст ноль.

[vlad_light]

Намекните, как оно выглядит, а то так сложно угадывать. Спасибо!