утверждение про диагонализируемость квадратичных форм

[omghero]

Доброго времени суток!
нашел на форуме утверждение "в конечномерном случае есть теорема о том, что для двух квадратичных форм, из которых одна положительна, есть базис, в котором обе имеют диагональный вид". я не нашел такого в своем учебнике лин. алгебры. Скажите утверждение верное?
Если да, то в каком учебнике можно найти детали? Спасибо!

[mihailm]

Да, в Куроше

[omghero]

в Куроше "курс вышей алгебры " не нашел. просмотрел все главу посвященную квадратичнвм формам. Там точно есть?

[Полосин]

Это классическое утверждение есть практически во всех учебниках по линейной алгебре, например:
А.И.Мальцев. Основы линейной алгебры.
И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
В.А.Ильин, Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
и многих, многих других...

[RIP]

В 9-м издании Куроша точно есть (ищите "Пара квадратичных форм" в предметном указателе).

[bot]

omghero в сообщении #439303 писал(а):

я не нашел такого в своем учебнике лин. алгебры

Его легко пропустить, так как доказательство совсем простое и короткое. Сначала делаем преобразование, которое приведёт положительную форму к нормальному виду (то есть к сумме квадратов с коэффициентами 1), при этом вторая форма как то преобразится. Теперь ортогональным преобразованием приведём вторую к каноническому виду, а первая при этом останется неизменной.

[omghero]

Да, действительно в Куроше уделено этому внимание.
Однако остался вопрос. Почему существет ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форуму к диагональному виду.

[bot]

Ну этому вопросу везде уделено достаточно внимания, чтобы его не заметить. Если коротко, то для самосопряжённого оператора существует ортогональный базис, состоящий из его собственных векторов.

[ewert]

omghero в сообщении #439348 писал(а):

Почему существет ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форуму к диагональному виду.

Потому, что оно выписывается явно: это -- переход к ортонормированному базису, составленному из собственных векторов матрицы второй формы (той, которая получилась после первого преобразования).

[omghero]

Что-то не укладывается у меня в голове. Диагональные матрицы всегда коммутируют. Значит операторы, которые задают эти матрицы коммутируют. Получается что матрица, которая определяют положительно определенную квадратичную форму, коммутирует с любой симметричной матрицей?! $ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) $ не коммутирует с $ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) $

-- Чт апр 28, 2011 11:02:44 --

Цитата:

Ну этому вопросу везде уделено достаточно внимания, чтобы его не заметить. Если коротко, то для самосопряжённого оператора существует ортогональный базис, состоящий из его собственных векторов.

Да. Аж стыдно за такие вопросы
я почемуто забыл про базис из собственных векторов

[ewert]

omghero в сообщении #439355 писал(а):

Значит операторы, которые задают эти матрицы коммутируют.

Это, скорее всего, потому, что Вы путаете матрицу оператора с матрицей квадратичной формы. А они преобразуются по разным законам. Эти законы совпадают лишь при ортогональном (в смысле унитарном) преобразовании. Между тем первое преобразование (при котором матрица первой формы становилась единичной) было не унитарным.

[omghero]

Цитата:

Эти законы совпадают лишь при ортогональном (в смысле унитарном) преобразовании

Поясните пожалуйста.
Матрица $A$квадратичной формы меняется при замене базиса $U^TAU$. Оператор $B$ в новом базисе примет вид $BU$. Я прав?

[ewert]

omghero в сообщении #439365 писал(а):

Оператор $B$ в новом базисе примет вид $BU$. Я прав?

Нет.

Матрица формы действительно преобразуется как $U^*AU$.

Матрица оператора преобразуется как $U^{-1}AU$.

Эти преобразования совпадают тогда и только тогда, когда $U^*=U^{-1}$, т.е. когда преобразование $U$ унитарно.

-----------------------------------------------
Матрицы двух квадратичных форм коммутируют тогда и только тогда, когда они одновременно приводятся к диагональному виду некоторым унитарным преобразованием. Для произвольных же форм необходимое для этого преобразование будет неунитарным.

[omghero]

Цитата:

Матрица оператора преобразуется как $U^{-1}AU$.

Да, я понял.
Большое сасибо за пояснения!

[Xenia1996]

omghero в сообщении #439303 писал(а):

Доброго времени суток!
нашел на форуме утверждение "в конечномерном случае есть теорема о том, что для двух квадратичных форм, из которых одна положительна, есть базис, в котором обе имеют диагональный вид". я не нашел такого в своем учебнике лин. алгебры. Скажите утверждение верное?
Если да, то в каком учебнике можно найти детали? Спасибо!

Вот тут поищите:

http://www.twirpx.com/file/320254/