Базисы и координаты в учебнике Зорича

[_hum_]

ewert в сообщении #435254 писал(а):

_hum_ в сообщении #435060 писал(а):

я предлагал рассматривать именно абстрактное векторное пространство упорядоченных наборов вещественных чисел

Вы уж выберите что-то одно (как в том анекдоте): или абстрактное векторное пространство, или вполне конкретное пространство числовых столбцов.

"Абстрактное" в данном контексте означало, что вектора в нем являются абстрактными объектами - наборами чисел безо всяких дополнительных содержательных трактовок ака "координаты чего-то в каком-то базисе" и проч.

[ewert]

_hum_ в сообщении #435294 писал(а):

вектора в нем являются абстрактными объектами - наборами чисел

"Наборы чисел" -- это вполне конкретные объекты. И, соотв., пространство таких наборов -- вполне конкретно. В отличие от абстрактного векторного пространства, от элементов которого всего-то и требуется не более чем удовлетворять определённому набору некоторых аксиом.

[_hum_]

2ewert

(Оффтоп)

Я уточнил, что имел в виду под "абстрактным".

[caxap]

ewert в сообщении #435254 писал(а):

Неверно. Частные производные по определению частных производных берутся по отдельным координатам. А координаты по определению координат определяются базисом. Ну и с какой стати частные производные не будут зависить от базиса?

Я думал, что ЧП берутся фиксацией аргументов функции (а не координат в каком-то базисе). Вот цитата из Дьедонне:

[ewert]

caxap в сообщении #435428 писал(а):

Вот цитата из Дьедонне:

Это немножко из другой оперы. Если пространство задано как декартово произведение двух других пространств (с естественным образом индуцированной банаховой структурой, но без каких-либо дополнительно заданных структур на каждом из сомножителей), то, действительно, частные производные можно понимать лишь в том смысле, как в этой цитате. Но мы-то обсуждаем гораздо более частный и конкретный случай -- когда $E_k$ одномерны и, соответственно, $E_1\times E_2=\mathbb R\times\mathbb R=\mathbb R^2$, где $\mathbb R$ интерпретируется как линейное пространство с "естественной" нормой. В этом случае частная производная "по подпространству" в смысле Дьедонне и частная производная в обычном, сермяжном понимании -- это с точностью до терминологии одно и то же. Но -- только до тех пор, пока нам не захочется поменять базис. А нам это очень часто и очень хочется.

[caxap]

ewert
Спасибо. Дошло.

Кстати, нашёл учебник Шварца "Анализ". Там этот вопрос хорошо рассмотрен. Но не знаю, стоит ли тратить на его чтение время (он толстый). Я искал по форуму, paha писал, что он устарел. Это так? Если да, то в каких местах он устарел?