Задача на делимость и равенство натуральных чисел

[pb_1989]

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы что $a^2 +ab+1$ делится на $b^2+ab+1$. Докажите что $a=b$.

всё кажется очевидным вроде.
по определению имеем что $a^2 +ab+1=n(b^2+ab+1)$
и что дальше?
Пробовал:
$a(a+b)+1=bn(b+a)+1 \Rightarrow a=bn , n=1 (???) $ ... (но это наверно бесполезное действие)

[Sonic86]

Сначала докажите, что $a \geq b$, а потом воспользуйтесь этим:
$b^2+ab+1 | a^2+ab+1 \Leftrightarrow b^2+ab+1 | b^2(a^2+ab+1)$
(а если с арифметикой сравнений знакомы, можете просто выразить $a$ через $b$ и подставить...)

[lim0n]

pb_1989 в сообщении #433913 писал(а):

Пробовал:
$a(a+b)+1=bn(b+a)+1 => a=bn , n=1 (???) $ ... (но это наверно бесполезное действие)

Можно и так, если ничего не терять...
$a(a+b)+1=bn(b+a)+n\Leftrightarrow (bn-a)(b+a)+(n-1)=0\Rightarrow\ldots$

[pb_1989]

А разве это не по определению что $a \geq b$

lim0n, вы имеете ввиду когда сумма равна нулю или что? не пойму что должно следовать из того выражения что вы написали.

[Sonic86]

pb_1989 писал(а):

А разве это не по определению что $a \geq b$

Вроде нет. Как именно это доказывать, не сильно важно. Главное, чтоб Вы это потом использовали.

[pb_1989]

Так не понятно как доказывать то...

[Ales]

Попробуйте использовать что $a^2-b^2$ тоже тогда делится на $b^2+ab+1$.

-- Вт апр 12, 2011 10:23:02 --

Используйте взаимную простоту чисел $b$ и $b^2+ab+1$.

[lim0n]

pb_1989 в сообщении #433926 писал(а):

вы имеете ввиду когда сумма равна нулю или что?

Да. При каких $n,a,b$ выполняется равенство?

[pb_1989]

при $a=b=0 и $n=1$

[lim0n]

pb_1989 в сообщении #433942 писал(а):

при $a=b=0

Ну это вы хватили...
Вполне достаточно $a=b$.

[pb_1989]

если $a=b$ то что нам дает? пусть $a=b => (2a^2+1)(n-1)=0$ И что?

[lim0n]

Я ничего не имел против $n=1$ (см. цитату в моём предыдущем сообщении).

[pb_1989]

Это то понятно! мы сразу говорим что $a=b, n=1$ или $n=1 => a=b, a=-b$ ?
Как то странно.

[AD]

Рекомендую $\Rightarrow$ вместо $=>$.
(см. также $\Leftrightarrow$)

[ewert]

pb_1989 в сообщении #433926 писал(а):

не пойму что должно следовать из того выражения что вы написали.

Из него следует, что $(n-1)$ делится на $(a+b)$, т.е. что $n=k(a+b)+1$. Что там дальше имелось в виду -- я не знаю, но вообще-то тогда, возвращаясь к исходному представлению, будет $a^2+ab+1=\big(k(a+b)+1\big)(b^2+ab+1)$, что явно невозможно -- правая часть равенства откровенно больше левой (кроме, конечно, случая $n=1\ \Leftrightarrow\ k=0$).