Вопросы по синтаксису Бурбаки

[JMH]

creative в сообщении #429536 писал(а):

1) Обозначение пишется $A \rVert B \rVert$ вместо $(B | x)A$ только по данному контексту (то есть в другом контексте $A \rVert B \rVert$ будет означать другое) или же данное обозначение всегда означает $(B | x)A$?

$A \rVert B \rVert$ означает $(B | x)(A\rVert x \rVert)$ т.е. B заменяет x в $A\rVert x \rVert$

creative в сообщении #429536 писал(а):

2) В п. 1 они пишут про то, что запись вида $( B | x )( C | y )A$ означает (когда они упоминают про $A \rVert B, C \rVert$) одномеременную замену букв знакосочетаниями (что звучит достаточно запутанно в случае, если $x$ и $y$ встречаются не только в $A$), однако в п. 2 в CS2 в частности ясно, что замена не одновременная а идет в порядке справа на лево. Как же в итоге вычисляется $( B | x )( C | y )A$? Ясно что ответ на этот вопрос зависит от ответа на первый вопрос.

Замена последовательная и, если C содержит x, то B заменит этот самый x

creative в сообщении #429536 писал(а):

3) В каком контексте в книге говорится о буквах, это только переменные или нет?

Понятие переменной, в привычном смысле, в "Теории множеств" вобще не используется. О буквах говорится в самом начале и любая буква является термом, обратное, в общем случе, неверно.

[JMH]

Если ничего не сказано насчет того, что x не содержится в C, то $A \rVert B, C \rVert$ следует рассматривать, как $(B|z)(C|y)(z|x)A\rVert x,y\rVert$, где z не содержится в C.

[zkutch]

Цитата:

3) В каком контексте в книге говорится о буквах, это только переменные или нет?

Цитата:

Понятие переменной, в привычном смысле, в "Теории множеств" вобще не используется.

Я бы тут как-то и не очень бы закапывался(набегут же, наразмахиваются... но, посмотрим), но раз есть желание проанализировать понятие "переменная", давайте попробуем. Возьмем 32стр. из нашей книги, где вводится соглашение о "обозначениях" (мелкий шрифт):

Цитата:

...выражение "буква х" ...нужно было бы заменять..."буква, обозначенная через х"

Итак, что мы имеем: полужирная, курсивная буква обозначает любую букву введеную в $2^{0}$ на стр.31. Это и есть самая привычная переменная в математике (по некоторой терминологии "свободная" переменная и не углублясь - тут у других авторов живут в зоопарке совместно индивидные, пропозициональные, предикатные, функциональные, числовые и др. виды).

Что мы понимаем под текстом "Пусть А знакосочетание"? Разве А это не самая привычная переменная, под которой, в этом случае, можно понимать любое знакосочетание рассматриваемой теории? Да, формально термина "переменная" на первых страницах не видно, но как только начинается речь об обозначениях по сути это и есть переменные. Тогда почему бы их и не назвать так?( А вот есть у меня и тут ответ, но вопроса со стороны пока нет ...)

Также привычна и так называемая "связанная" переменная т.е. это буквы, которые просто помогают строить выражения, символ у Бурбаков. В нашей книге это, например на стр.33, знаменитый "тот, который" Бурбаков "$\tau $". Вот и получается, что хотя в выражении, символе $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{A} )$ написанна буква х, но она написанна именно для того, чтобы сказать нам, что мы хотим получить знакосочетание в котором нет этой буквы.
Также и в интеграле - буквы d и х написанны для того, чтобы создать знакосочетание в котором их нет. В символе они есть - в знакосочетании их нет (извините за повторение)

получился ли у меня ответ? не отставайте, если нет ...

[creative]

JMH в сообщении #430228 писал(а):

Если ничего не сказано насчет того, что x не содержится в C, то $A \rVert B, C \rVert$ следует рассматривать, как $(B|z)(C|y)(z|x)A\rVert x,y\rVert$, где z не содержится в C.

Хороший пример представления. Я как-то при первом чтении не догадался представить себе это выражение таким образом.

zkutch в сообщении #430246 писал(а):

Я бы тут как-то и не очень бы закапывался(набегут же, наразмахиваются... но, посмотрим), но раз есть желание проанализировать понятие "переменная", давайте попробуем. Возьмем 32стр. из нашей книги, где вводится соглашение о "обозначениях" (мелкий шрифт):

Цитата:

...выражение "буква х" ...нужно было бы заменять..."буква, обозначенная через х"

Итак, что мы имеем: полужирная, курсивная буква обозначает любую букву введеную в $2^{0}$ на стр.31. Это и есть самая привычная переменная в математике (по некоторой терминологии "свободная" переменная и не углублясь - тут у других авторов живут в зоопарке совместно индивидные, пропозициональные, предикатные, функциональные, числовые и др. виды).

Что мы понимаем под текстом "Пусть А знакосочетание"? Разве А это не самая привычная переменная, под которой, в этом случае, можно понимать любое знакосочетание рассматриваемой теории? Да, формально термина "переменная" на первых страницах не видно, но как только начинается речь об обозначениях по сути это и есть переменные. Тогда почему бы их и не назвать так?( А вот есть у меня и тут ответ, но вопроса со стороны пока нет ...)

Также привычна и так называемая "связанная" переменная т.е. это буквы, которые просто помогают строить выражения, символ у Бурбаков. В нашей книге это, например на стр.33, знаменитый "тот, который" Бурбаков "$\tau $". Вот и получается, что хотя в выражении, символе $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{A} )$ написанна буква х, но она написанна именно для того, чтобы сказать нам, что мы хотим получить знакосочетание в котором нет этой буквы.
Также и в интеграле - буквы d и х написанны для того, чтобы создать знакосочетание в котором их нет. В символе они есть - в знакосочетании их нет (извините за повторение)

получился ли у меня ответ? не отставайте, если нет ...

То, что выражение в тексте книги "пусть $x$ - буква" на самом деле означает "пусть $x$ обозначает некоторую букву" (или тоже описание для знакосочетаний) для меня уже было понятно и это можно назвать метапеременными.
Но мой вопрос был о другом, а именно в каком смысле подразумеваются буквы данные в п. 1 $2^{0}$?
Такой вопрос возник при чтении следующих примеров из книги:

Уже давал этот пример из примеров данных на стр. 31-32:

Цитата:

Напротив, $\int_{0}^{1} f(x) dx$ изображает знакосочетание, в котором буква $x$ (ровно как и буква $d$) не содержится.

Или там же:

Цитата:

Знакосочетания изображаемые символами $N$, $Z$, "функция $\Gamma$", не содержат никаких букв.

То что интеграл определенный в первом из приведенных мной цитат из книги и то, что $N$, $Z$ суть натуральные и целые числа соответственно для моего понимания причины (того что они не содержат букв) слишком зыбкая и слабая интуитивная догадка.
Проще говоря я не понял, что точно имеется ввиду под самими буквами определенными в п. 1 $2^{0}$.

[zkutch]

Цитата:

Проще говоря я не понял, что точно имеется ввиду под самими буквами определенными в п. 1 $2^{0}$.

Это просто буквы - именно алфавит, с перечисленными на 31стр. строчными и прописными буквами. До интеграла или даже натуральных чисел еще далеко, и поэтому приведу пример одного из ближайших выражений, которое не содержит букв и должно быть более легким для понимания - это
$(\exists x)(x=x) $

(мне приходится выезжать из города временами, так, что возможно ответы не будут очень быстрыми, но если вы оставите вопросы, то я не оставлю их без ответа)

[creative]

zkutch в сообщении #430597 писал(а):

Это просто буквы - именно алфавит, с перечисленными на 31стр. строчными и прописными буквами. До интеграла или даже натуральных чисел еще далеко, и поэтому приведу пример одного из ближайших выражений, которое не содержит букв и должно быть более легким для понимания - это
$(\exists x)(x=x) $

В п. 3 на стр. 36 в замечании говорится:

Цитата:

Замечание. Интуитивно, термы - это знакосочетания, изображающие объекты (предметы), а соотношения - формулы, изображающие утверждения, которые можно делать об этих предметах. Условие a) означает, что буквы изображают предметы.
...
Условие г) означает, что если $B$ - утверждение и $x$ - буква, то $\tau_x(B)$ есть предмет; будем рассматривать утверждение $B$ как утверждение, выражающее некоторое свойство предмета $x$, тогда, если существует предмет, обладающий этим свойством, знакосочетание $\tau_x(B)$ изображает привелегированный объект, обладающий этим свойством; в противном случае $\tau_x(B)$ изображает предмет, о котором нельза ничего сказать.

Если я смотрю на символ изображающий знакосочетание второго рода (т.е. соотношение/утверждение/высказывание) $(\exists x)(x=x)$ и принимаю то, что это знакосочетание не содержит букв, то делаю вывод из прочитанного в описании условия а) в замечании цитированном выше, о том, что буквы могут изображать только конкретный объект (т.е. не могут выступать в качестве переменной).

С другой стороны перечитывая описание услвия г) в замечании я вижу, что если $x$ ($x$ изображает некоторую букву) содержится в $B$ ($B$ изображает некоторое знакосочетание второго рода), то $B$ есть утверждение относительно свойства $x$ и $\tau_x(B)$ изображает конкретный предмет с этим свойством. Но тогда получается $x$ может выступать в качестве переменной (так как $\tau_x(B)$ является конкретным предметом, а $x$ содержащийся в знакосочетании $B$ стабо быть не конкретным предметом). Но это противоречие. Со сказанным мной же абзацем выше.

Получается, что сказанное в описании г) данном в замечании противоречит с утверждением: $(\exists x)(x=x)$ не содержит букв.

В a) говорится, что буквы изображают предметы. Но определенная буква изображает только конкретный предмет?
Если да, то получается что в $(\exists x)(x=x) $ не содержаться букв, так как в этом знакосочетании нет конкретных предметов. Но если так, то получается с противоречие с пониманием описания условия г) данном в замечании. Как понимать тогда условие г)?

zkutch в сообщении #430597 писал(а):

(мне приходится выезжать из города временами, так, что возможно ответы не будут очень быстрыми, но если вы оставите вопросы, то я не оставлю их без ответа)

Хорошо.

[zkutch]

Цитата:

Если я смотрю на символ изображающий знакосочетание второго рода (т.е. соотношение/утверждение/высказывание) $(\exists x)(x=x)$ и принимаю то, что это знакосочетание не содержит букв, то делаю вывод из прочитанного в описании условия а) в замечании цитированном выше, о том, что буквы могут изображать только конкретный объект (т.е. не могут выступать в качестве переменной).

Непонятно почему вы делаете такой вывод. Распишите, пожалуйста, поподробнее. Противоречие это когда у вас есть одновременно выражение "А" и "не А".

А пока, может это поможет, я предложу следующие мысли по порядку: итак у нас есть алфавит. Я знаю, что отдельно взятые буквы это предметы и пишу фразу "Пусть x буква" - что это означает? По договору о полужирных, курсивах это обозначение какой-то буквы. Т.е. в этом контексте это переменная. Всегда ли буквы переменные? Нет. У нас скоро будут аксиомы и по определению буква, которая появится в аксиоме будет называться "константой". Эти буквы в роли переменных обычно не будут использоваться.

Но дело "хуже"- буквами я могу обозначить не только буквы: "Пусть R соотношение" - что мы этим обозначили и что есть R в таком контексте?

Дальше еще "хуже" - буквы мы также будем применять при создании символов. В определенных случая буква будет применяться для записи того, что эта буква в знакосочетании не присутствует. Например $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{A})$.

теперь о $(\exists x)(x=x)$. Это я забежал несколько вперед, но просто это ближайшее, по моему, самое простое выражение, где можно интуицию привязать к формализму. По определению (53стр.) это подстановка $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{x=x} )$ вместо $x$ в $x=x$ и раз в $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{x=x} )$ нет $x$, то его подавно нет и в $(\exists x)(x=x)$

[creative]

zkutch в сообщении #431004 писал(а):

Непонятно почему вы делаете такой вывод. Распишите, пожалуйста, поподробнее. Противоречие это когда у вас есть одновременно выражение "А" и "не А".

В этом абзаце Вам нет необходимости комментировать, так как содержит лишь ответ на Ваш вопрос о том как я пришел к этому неправильному выводу. Более определенные рассуждения ниже.

======= необязательная часть =======
Делая такой вывод я мыслил (говорю в прошлом, так как уже мыслю по другому, см. внизу) просто, а именно $(\exists x)(x=x)$ означает "существует $x$ равный самому себе". Сам квантификатор существования не указывает на определенный предмет, он лишь указывает о существовании такого предмета. С этими рассуждениями перечитывая описание условия а) в замечании я делаю вывод, что буквы означают только конкретные предметы (если говорить нестрого, то они обозначают константы), а поскольку в знакосочетании изображаемом символом $(\exists x)(x=x)$ символ $x$ не означает конкретный предмет, то соответственно это знакосочетание содержит что-угодно, но не $x$ как букву. На счет противоречия, оно возникает из-за того, что я неправильно понимаю в каком контексте говорится о буквах. Если бы я пришел к строгому противоречию, то это был бы уже прогресс. А именно по г) если буква обозначаемая $x$ содержится в $B$, а $\tau_x(B)$ есть определенный предмет, то $x$ стало быть в $B$ утверждает не о конкретном предмете $x$, раз $\tau_x(B)$ ему противопостовляется как конкретный предмет.
=================================

zkutch в сообщении #431004 писал(а):

А пока, может это поможет, я предложу следующие мысли по порядку: итак у нас есть алфавит. Я знаю, что отдельно взятые буквы это предметы и пишу фразу "Пусть x буква" - что это означает? По договору о полужирных, курсивах это обозначение какой-то буквы. Т.е. в этом контексте это переменная. Всегда ли буквы переменные? Нет. У нас скоро будут аксиомы и по определению буква, которая появится в аксиоме будет называться "константой". Эти буквы в роли переменных обычно не будут использоваться.

Но дело "хуже"- буквами я могу обозначить не только буквы: "Пусть R соотношение" - что мы этим обозначили и что есть R в таком контексте?

Дальше еще "хуже" - буквы мы также будем применять при создании символов. В определенных случая буква будет применяться для записи того, что эта буква в знакосочетании не присутствует. Например $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{A})$.

Вообще я вижу не так, вот как я себе интерпретирую (свою трактовку справа я ставлю после знаков "~~~") следующие вещи (я выделил их по пунктам):

1: $\boldsymbol{R}$ есть знакосочетание первого/второго рода ~~~ $\boldsymbol{R}$ есть сокращающий символ, который не принадлежит формальной математике (мелкий шрифт на стр. 31 и стр. 32 (внизу страницы)) и который изображает знакосочетание первого/второго рода;
2: пусть $\boldsymbol{x}$ буква ~~~ $\boldsymbol{x}$ есть символ, который не принадлежит формальной математике (мелкий шрифт на стр. 31 и стр. 32 (внизу страницы)) и который изображает определенную букву;
3: $2^0$ Буквы (стр. 31 в самом начале) ~~~ один из трех видов знаков из которых может состоять знакосочетание есть буквы, которые могут быть строчными и прописными латинскими буквами, снабжаемые штрихами;

Проблема заключается в понимании 3, то есть не с теми буквами, которые символы (то, что я описал в 1 и 2), а с самими буквами данные в $2^0$ в самом начале на стр. 31.

zkutch в сообщении #431004 писал(а):

теперь о $(\exists x)(x=x)$. Это я забежал несколько вперед, но просто это ближайшее, по моему, самое простое выражение, где можно интуицию привязать к формализму. По определению (53стр.) это подстановка $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{x=x} )$ вместо $x$ в $x=x$ и раз в $\tau_{\text{x}} (\boldsymbol{x=x} )$ нет $x$, то его подавно нет и в $(\exists x)(x=x)$

Я вижу определение квантора существования на стр. 53:

Цитата:

Если $\boldsymbol{R}$ - знакосочетание и $\boldsymbol{x}$ буква, то знакосочетание $(\tau_x(\boldsymbol{R})|\boldsymbol{x})\boldsymbol{R}$ обозначается через "существует такое $\boldsymbol{x}$, что $\boldsymbol{R}$", или через $(\exists \boldsymbol{x}) \boldsymbol{R}$.

Тогда совершенно ясно почему $(\exists \boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}={\boldsymbol{x}})$ не содержит $\boldsymbol{x}$. Но тогда возникает другой вопрос:

В1: Как можно связать [удаление $\boldsymbol{x}$ из $\boldsymbol{R}$ (соотношение) и подстановку уже измененного $\boldsymbol{R}$ опять в $\boldsymbol{R}$ вместо каждого $\boldsymbol{x}$] с понятием [существует какой-то объект, обладающий свойством $\boldsymbol{R}$]?
(тут я использовал [ и ], чтобы легче было понять в длинном предложении какой образ с каким я хочу соотнести)

Меня именно смущает эта рекурсивная подстановка $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{R})$ (которое содержит все символы, только все $\boldsymbol{x}$ связываются с $\tau$ поставленным слева и $\boldsymbol{x}$ заменяется на $\Box$) опять вместо всех $\boldsymbol{x}$ в $\boldsymbol{R}$.

Понятно, что задавая В1 я забегаю вперед, но как быть тогда с пониманием описания данного на стр. 36:

Цитата:

Условие г) означает, что если $\boldsymbol{B}$ - утверждение и $\boldsymbol{x}$ - буква, то $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ есть предмет; будем рассматривать утверждение $\boldsymbol{B}$ как утверждение, выражающее некоторое свойство предмета $\boldsymbol{x}$, тогда, если существует предмет, обладающий этим свойством, знакосочетание $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ изображает привелегированный объект, обладающий этим свойством; в противном случае $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ изображает предмет, о котором нельза ничего сказать.

В2: По условию г). Правильно ли я понимаю, что в знакосочетании второго рода (т.е. утверждении) $\boldsymbol{B}$ буква, которую обозначает $\boldsymbol{x}$ играет роль переменной (т.е. я говорю не про символ $\boldsymbol{x}$ изображающей букву, а про саму букву, которую изображает $\boldsymbol{x}$), а уже знакосочетание изображаемое символом $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ (где, $\tau_{\alpha}(\Gamma)$ понимается именно в смысле определения данного на стр. 33) обозначает конкретный предмет со свойством утверждаемым $\boldsymbol{B}$?

Я постарался сделать текст и вопросы как можно более точно отражающие то, что я думаю.

[zkutch]

ваши понятия в ваших пунктах 1:,2: и 3: в принципе правильны. Итак буквы мы используем и как сами за себя и как обозначения. Вы говорите, что

Цитата:

Проблема заключается в понимании 3

- но не пишите в чем эта проблема? Может поясните.

Поэтому перехожу к В1 и В2 и сразу прошу извинить за возможную многословность.

Для меня лично это одни из самых волнующе-красивых вопросов и моментов в Бурбаках. Введено фундаментальное понятие существования - на нем потом будет и пустое множество, потом и натуральные числа и вся математика.
На В2 ответ да. На В1 ответа нет (это у самих бы Бурбаков поспрашивать) в следующем смысле: все у кого я спрашивал или читал, в свое время, В1 просто повторяли определение своими словами и не хочу уподабливаться им и морочить вам голову.

Но есть версия, итог всех консультаций и своих размышлений:
Все основывается на свойстве т.н. сильного выбора. Допустим у нас есть свойство В объекта х - этот последний тут переменная. Если есть несколько таких объектов, считается, что мы можем выбрать один и его-то и обозначаем через $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$. Если теперь подставить вместо х в В наш выбранный объект, то В для него должно быть истинным утверждением. И еще раз: если мы можем выбрать объект для свойства В так, что подставляя в него мы получаем истинную формулу, истинное предложение, то мы можем сказать, что существует объект с свойством В.
Вроде смыслово понятно и формально не придерешься, но меня не оставляет чувство неудовлетворенности в том смысле, что почему это свойство выбора должно обосновывать свойство существования а не допустим наоборот? Это что-то вроде того как известный экзистенциалист Хайдегер обосновал существование присутствием присутствующего. А чем второе понятнее первого?

И под конец позвольте еще раз повторить, что вы вашим (или нашим общим) В1 вторгаетесь в область "а как вы понимаете?". В то время как формальные правила игры в рисунки остаются в стороне. Доказательства, свойства и объекты мы строим именно по правилам игры в рисунки. А что понимаем под ними - это как вообще рассказать друг-другу не впадая в еще одну метаигру? ..

[creative]

zkutch в сообщении #431356 писал(а):

ваши понятия в ваших пунктах 1:,2: и 3: в принципе правильны. Итак буквы мы используем и как сами за себя и как обозначения. Вы говорите, что

Цитата:

Проблема заключается в понимании 3

- но не пишите в чем эта проблема? Может поясните.

Все таки я пропустил в своем тексте это объяснение. Я вчера перечитывал свое сообщение и ещё правил его целый час, но пропустил.

Я поразмыслил над написанным Вами и в книге и возможно я решил проблему с пониманием 3 с предыдущего ответа. И вот к какому выводу я пришел (далее цепочка рассуждений):

Знаки любого знакосочетания из любой теории (т.е. и утверждений и термов) могут состоять только из:

Цитата:

$1^0$ Логические знаки: $\Box$, $\tau$, $\vee$, $\neg$.
$2^0$ Буквы.
$3^0$ Специальные знаки.

Стр. 35/п. 3 (Формативные конструкции):

Цитата:

Среди специальных знаков всякой теории одни будут называться реляционными, а другие - субстантивными.

Из этого следует, что знакосочетания разных теорий могут утверждать о предметах разной природы (т.к. в корне другого строения знакосочетаний кроме данного выше нет).

А так же есть сокращающие символы не принадлежащие формальной математике, которые изображают знакосочетания или отдельные буквы (мелкий шрифт стр. 31 и 32 (внизу страницы)).

Из выше сказанного я могу утверждать следующее:

У1: Если в знакосочетании изображаемого символом $\boldsymbol{B}$ содержится буква изображаемая символом $\boldsymbol{x}$ и это знакосочетание второго рода выражает некоторое свойство предмета которому соответствует буква изображаемая символом $\boldsymbol{x}$, то в зависимости от знакосочетания и теории, которой это знакосочетание принадлежит сама буква (именно сама буква, а не её изображающий символ) изображаемая символом $\boldsymbol{x}$ может изображать какой-либо (не конкретно выбранный) терм, какое-либо (не конкретно выбренное) утверждение (которое в $\boldsymbol{B}$ рассматривается как предмет) или какой-нибудь (опять же не конкретно выбранный) объект построенный в зависимости от контекста теории (например, прямая из геометрии, кольцо из алгебры и т.д.).

Примеры:

П1: Символ $\boldsymbol{x}$ (по договору символ есть полужирная буква) изображает саму букву $A'$, которая в свою очередь изображает предмет, которым является некоторый (но не конкретно выбранный) терм, который рассматривается именно как предмет.

П2: Символ $\boldsymbol{x}$ (по договору символ есть полужирная буква) изображает саму букву $A'$, которая в свою очередь изображает предмет, которым является некоторое (но не конкретно выбранное) знакосочетание второго рода, которое рассматривается именно как предмет.

П3: Символ $\boldsymbol{x}$ (по договору символ есть полужирная буква) изображает саму букву $A'$, которая в свою очередь изображает предмет, которым является некоторый (но не конкретно выбранный) объект, который рассматривается именно как предмет и природа которого известна из контекста теории.

zkutch в сообщении #431356 писал(а):

Поэтому перехожу к В1 и В2 и сразу прошу извинить за возможную многословность.

Для меня лично это одни из самых волнующе-красивых вопросов и моментов в Бурбаках. Введено фундаментальное понятие существования - на нем потом будет и пустое множество, потом и натуральные числа и вся математика.
На В2 ответ да. На В1 ответа нет (это у самих бы Бурбаков поспрашивать) в следующем смысле: все у кого я спрашивал или читал, в свое время, В1 просто повторяли определение своими словами и не хочу уподабливаться им и морочить вам голову.

Но есть версия, итог всех консультаций и своих размышлений:
Все основывается на свойстве т.н. сильного выбора. Допустим у нас есть свойство В объекта х - этот последний тут переменная. Если есть несколько таких объектов, считается, что мы можем выбрать один и его-то и обозначаем через $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$. Если теперь подставить вместо х в В наш выбранный объект, то В для него должно быть истинным утверждением. И еще раз: если мы можем выбрать объект для свойства В так, что подставляя в него мы получаем истинную формулу, истинное предложение, то мы можем сказать, что существует объект с свойством В.
Вроде смыслово понятно и формально не придерешься, но меня не оставляет чувство неудовлетворенности в том смысле, что почему это свойство выбора должно обосновывать свойство существования а не допустим наоборот? Это что-то вроде того как известный экзистенциалист Хайдегер обосновал существование присутствием присутствующего. А чем второе понятнее первого?

И под конец позвольте еще раз повторить, что вы вашим (или нашим общим) В1 вторгаетесь в область "а как вы понимаете?". В то время как формальные правила игры в рисунки остаются в стороне. Доказательства, свойства и объекты мы строим именно по правилам игры в рисунки. А что понимаем под ними - это как вообще рассказать друг-другу не впадая в еще одну метаигру? ...

Настоящее понимание синтаксиса и уверенное оперирование им я вижу только в том случае, когда понятен смысл его элементов (в смысле почему именно так удобно и в каком контексте что используется).

В свете моего нового понимания теперь я понимаю утверждение из п. 3 на стр. 36 в замечании:

Цитата:

Условие г) означает, что если $\boldsymbol{B}$ - утверждение и $\boldsymbol{x}$ - буква, то $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ есть предмет; будем рассматривать утверждение $\boldsymbol{B}$ как утверждение, выражающее некоторое свойство предмета $\boldsymbol{x}$, тогда, если существует предмет, обладающий этим свойством, знакосочетание $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ изображает привелегированный объект, обладающий этим свойством; в противном случае $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ изображает предмет, о котором нельза ничего сказать.

Вот моя интерпретация:

И1: Тут я вижу символ $\boldsymbol{x}$ изображающий некоторую букву встречающуюся в знакосочетании второго рода изображаемого символом $\boldsymbol{B}$ и тут сама буква, которую изображает символ $\boldsymbol{x}$ играет роль переменной (т.е. я говорю уже про саму букву, которая играет роль переменной, а не про символ, который её изображает).
А знакосочетание изображаемое символом $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ просто обозначает конкретно выбранный предмет со свойством .$\boldsymbol{B}$. А знакосочетание изображаемое символом $(\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})|\boldsymbol{x})\boldsymbol{B}$ утверждает о свойстве именно конкретно выбранного объекта знакосочетание, которого изображается символом $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$.

Ну и то, что меня смущало задавая вопрос В1, а именно рекурсивная подстановка не является проблемой, так как нам не обязательно (т.е. можно, но не обязательно) разворачивать все символы в знакосочетания (т.е. не обязательно при разворачивании знакосочетания изображаемого символом $(\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})|\boldsymbol{x})\boldsymbol{B}$ разворачивать так же и $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$). То есть замена на $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ есть всего лишь частный случай того, что описанно мелким шрифтом на стр. 39:

Цитата:

Интуитивно, если $\boldsymbol{A}$ - есть знакосочетание теории$ \mathscr{T}$, которое мы будем рассматривать как выражающее некоторое свойство объекта $\boldsymbol{x}$, то утверждать $(\boldsymbol{B}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}$ - это значит сказать, что объект $\boldsymbol{B}$ обладает этим свойством.

Вопрос теперь сводится к:

В: Правильно ли моё утверждение У1 и примеры П1-3, а так же моя интерпретация И1?

P.S. Надеюсь я ничего не упустил в пояснениях на этот раз.

[JMH]

creative в сообщении #431443 писал(а):

У1: Если в знакосочетании изображаемого символом $\boldsymbol{B}$ содержится буква изображаемая символом $\boldsymbol{x}$ и это знакосочетание второго рода выражает некоторое свойство предмета которому соответствует буква изображаемая символом $\boldsymbol{x}$, то в зависимости от знакосочетания и теории, которой это знакосочетание принадлежит сама буква (именно сама буква, а не её изображающий символ) изображаемая символом $\boldsymbol{x}$ может изображать какой-либо (не конкретно выбранный) терм, какое-либо (не конкретно выбренное) утверждение (которое в $\boldsymbol{B}$ рассматривается как предмет) или какой-нибудь (опять же не конкретно выбранный) объект построенный в зависимости от контекста теории (например, прямая из геометрии, кольцо из алгебры и т.д.).

Это, собственно, усложненный вариант того, что я говорил раньше - буква всегда либо терм, либо его составляющая. Ваше определение, если только я его понимаю правильно, к этому и сводится.

creative в сообщении #431443 писал(а):

А знакосочетание изображаемое символом $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$ просто обозначает конкретно выбранный предмет со свойством .$\boldsymbol{B}$.

Мoжет это и не вполне строго, но для себя $\tau_x(B)$ я читаю "такой $x$, что $B$".

creative в сообщении #431443 писал(а):

А знакосочетание изображаемое символом $(\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})|\boldsymbol{x})\boldsymbol{B}$ утверждает о свойстве именно конкретно выбранного объекта знакосочетание, которого изображается символом $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$

Знакосочетание $(\tau_x(B)|x)B$ я бы прочел, как "пусть $x$ удовлетворяет $B$" или "возьмем такой $x$, что $B$"

Т.е. ответ на Ваш вопрос В - да, мне кажется все правильно, но очень сложно.

[zkutch]

Сначала извиняюсь за опоздание.И сразу по делу: в У1 и далее в И1 фактически одно и то же начало

Цитата:

...содержится буква изображаемая символом $x$...

Если очень уж придираться, то термин "символ" по стр.32 это что-то посложнее просто буквы

Далее немного смутили в У1 слова

Цитата:

... $x$ может изображать ...какое-либо (не конкретно выбренное) утверждение (которое в $B$ рассматривается как предмет)...

и далее в П2:

Цитата:

которая в свою очередь изображает предмет, которым является некоторое (но не конкретно выбранное) знакосочетание второго рода, которое рассматривается именно как предмет.

теперь почему - предмет, терм, объект, знакосочетание первого рода для меня синонимы и поэтому эти слова, обычно, не применяю к знакосочетаниям второго рода. Хотя если вы употребляете слово "предмет" в каком-то очень обобщенном смысле, то, естественно, всегда пожалуйста, только надо обговорить.
Далее почему-бы все примеры не свести к тавтологии: $x$ обозначает либо само себя либо что-то другое. Ваше "изображает" я понимаю как "обозначает". Тогда в вашем П3 не будет опасности типа "а не пропустили ли чего ...". Дело в том, что Бурбаки, и вот вы теперь, стараются все брать в очень общем смысле, что усложняет запись и появляется выше названная опасность. Если вы когда-нибудь посмотрите на определение структуры, то, на первый взгляд, это тихий ужас.

И далее в И1 вы пропускаете условие о существовании предмета обозначенного через $\tau_{\text{x}} (B)$ без которого ваше И1 не полностью соответствует определению

[creative]

Сразу объясню почему мое предыдущее сообщение такое длинное. Я хотел явно подчеркнуть различие между символами неформальной математики, которые изображают обозначения формальной математики (например: пусть символ $\boldsymbol{x}$ изображает/обозначает букву) и самими буквами принадлежащих формальной математике и которые входят именно в знакосочетания.

zkutch в сообщении #432401 писал(а):

Если очень уж придираться, то термин "символ" по стр.32 это что-то посложнее просто буквы

Я это я понимаю. Под символом они подразумевают какую-либо последовательность знаков не принадлежащих формальной математики, который изображает/обозначает (в книге часто употребляется именно слово "изображает") какую либо букву, знакосочетание или вообще теорию. Часто для краткости изложения, так как использование одних только обозначений формальной математики сделало бы рассуждения слишком длинными (стр. 31 и 32 мелкий шрифт).

Так как буквы принадлежащие теории могут использоваться в качестве параметров для подстановки в знакосочетание, в которое они входят, то в большинстве случаев эти буквы входят в символ изображающий данное знакосочетание. (стр. 32 мелкий шрифт).

zkutch в сообщении #432401 писал(а):

Далее немного смутили в У1 слова

Цитата:

... $x$ может изображать ...какое-либо (не конкретно выбренное) утверждение (которое в $B$ рассматривается как предмет)...

и далее в П2:

Цитата:

которая в свою очередь изображает предмет, которым является некоторое (но не конкретно выбранное) знакосочетание второго рода, которое рассматривается именно как предмет.

То есть я понимаю, что буква (т.е. я говорю про букву, а не про символ изображающей её) может входить в знакосочетание любой математической теории $\mathscr{T}$. И все буквы входящие в знакосочетания теории обозначают термы.
Но может быть так, что некоторое знакосочетание второго рода может быть утверждением относительно свойств другого (но не конкретно выбранного) утверждения и оно будет рассматриваться в этом знакосочетании как терм обозначенного буквой (я не про символ-букву, а про саму букву).

zkutch в сообщении #432401 писал(а):

теперь почему - предмет, терм, объект, знакосочетание первого рода для меня синонимы и поэтому эти слова, обычно, не применяю к знакосочетаниям второго рода. Хотя если вы употребляете слово "предмет" в каком-то очень обобщенном смысле, то, естественно, всегда пожалуйста, только надо обговорить.

Именно, я рассматриваю объект/предмет/знакосочетание первого рода как синонимы. Но как я написал выше, я не исключаю того случая, когда одно знакосочетание второго рода выражает свойства других знакосочетаний второго рода, которые в этом знакосочетании рассматриваются именно как термы.

zkutch в сообщении #432401 писал(а):

Далее почему-бы все примеры не свести к тавтологии: $x$ обозначает либо само себя либо что-то другое. Ваше "изображает" я понимаю как "обозначает". Тогда в вашем П3 не будет опасности типа "а не пропустили ли чего ...". Дело в том, что Бурбаки, и вот вы теперь, стараются все брать в очень общем смысле, что усложняет запись и появляется выше названная опасность. Если вы когда-нибудь посмотрите на определение структуры, то, на первый взгляд, это тихий ужас.

Я думаю пока не освоился с Бурбаки не нужно говорить "$x$ обозначает либо само себя либо что-то другое", так как я хочу именно подчеркнуть, что является символом изображающим в данном случае букву, а что является самой буквой входящей в знакосочетание, которую изображает этот символ. А так же я хочу подчеркнуть, что именно может обозначать сама буква, а что не может обозначать.

zkutch в сообщении #432401 писал(а):

И далее в И1 вы пропускаете условие о существовании предмета обозначенного через $\tau_{\text{x}} (B)$ без которого ваше И1 не полностью соответствует определению

Да, я об этом тоже подумал и знал об этом, но не написал, чтобы обратить внимание именно на различие между символами и самими буквами, а так же то, что сами буквы выступают в качестве переменных, где а привелегированные термы подставляются в знакосочетание операцией вида $(\Psi | \alpha ) \Phi$.

Итого:

1) Есть символы, которые изображают знакосочетания или буквы некоторой теории. Символ может состоять из одного или нескольких типографических знаков (специально пишу "типографических знаков" вместо "букв", чтобы подчеркнуть их различие). Символы не относятся к формальной математике.
2) Есть знакосочетания теории $\mathscr{T}$, которые состоят из последовательности знаков.
3) Знаки теории могут быть только трех видов: логические знаки, буквы, специальные знаки.
4) Буквы (которые не символы) есть не конкретно выбранные термы (т.е. буквы в смысле переменных выступают в знакосочетании).
5) Подстановка конкретного терма $\Psi$ вместо переменной $\alpha$ в знакосочетание $\Phi$ обозначается $(\Psi | \alpha ) \Phi$.
6) Символ $\tau_{\text{x}} (B)$ изображает определенный предмет, если существует предмет обладающий этим свойством.

В: Правильно ли я теперь представляю?

P.S. Я немного спешил набирая текст.

[zkutch]

Цитата:

... я не исключаю того случая, когда одно знакосочетание второго рода выражает свойства других знакосочетаний второго рода, которые в этом знакосочетании рассматриваются именно как термы.

Смысл и желание ваши понятны, но мы, как уже писал как-то, в раю формализма: знакосочетание или второго рода или нет. Наверное, вы подразумеваете случай когда, допустим, знакосочетание второго рода, например, обозначенно буквой.

И ваши 6 пунктов мне кажутся в принципе верными, только в 4-ом пункте можно, наверное, добавить, что буквой можно обозначить не только переменную, но и константу.

[creative]

zkutch в сообщении #432727 писал(а):

Смысл и желание ваши понятны, но мы, как уже писал как-то, в раю формализма: знакосочетание или второго рода или нет. Наверное, вы подразумеваете случай когда, допустим, знакосочетание второго рода, например, обозначенно буквой.

Да. Я говорил про утверждения оперирующих другими утверждениями. Например, символ (для однозначности, что это символ помещу его между $\circledS$, который будет всего лишь графическим приемом для длинных символов, а не знаком формальной математики):

$\circledS$ Если, $A$ утверждение о равенстве термов $\alpha$ и $\beta$ истино, то утверждение $B$ о неравенстве $\alpha$ и $\beta$ ложно. $\circledS$

Знакосочетание соответствующее этому символу содержит буквы формальной математики (т.е. не символы): $A$, $B$, $\alpha$, $\beta$.

Тут $A$ рассматривается как терм, хотя $A$ и обозначает утверждение.
То есть $A$ в утверждении выше есть терм, но вне этого утверждения это знакосочетание второго рода.

В1: Возможен ли такой случай?

zkutch в сообщении #432727 писал(а):

И ваши 6 пунктов мне кажутся в принципе верными, только в 4-ом пункте можно, наверное, добавить, что буквой можно обозначить не только переменную, но и константу.

А вот на этом моменте надо остановится. Я не вижу, где из текста первой главы можно понять, что буква (не символ) может обозначать константу. Я наоборот из описания вижу только, что они исполняют роль переменных, то есть они не обозначают привелегированный терм.

В2: Какой текст первой главы сообщает нам о том, что они могут обозначать привелегированный предмет?