Неопределённые интегралы

[Play]

Собственно я не силён в матане, но задание надо сдать. Помогите пожалуйста разобраться. Мне бы начать..а дальше я сам решу. Помогите пожалуйста. Заранее благодарен.

Знак интеграла не нашёл как ставить...

1. $\int \frac {x^2}{1-x^4}dx$

2. $\int \frac {x^5}{(x-1)^2 (x^2-1)}dx$

3. $\int \frac {x^3 -2x+4}{x^3 (x-2)^2}dx$

4. $\int \frac{x^3 -6}{x^4 +6x^2 +8}dx$

5. $\int \frac {\sqrt {x^3}- \sqrt[3]{x}}{6\sqrt[4]{x}}dx$

6. $\int e^x sin4xdx$


Напишите пожалуйста как решать каждый интеграл и если не сложно то написать как именно. Повторюсь, что решение всё мне не обязательно.

[laplas_the_best]

1) разложить на множители знаменатель, а потом разбить на простейшие дроби.
2) Поделить столбиком многочлены, а потом --разложить на множители знаменатель, а потом разбить на простейшие дроби.
3) разложить на множители знаменатель, а потом разбить на простейшие дроби.
4) сходу оптимальный способ не вижу, если только полный квадрат выделить в знаменателе.
5) Что это там в квадратных скобках?
6) По частям.

Интеграл пишется так

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

[Play]

Исправил. Спасибо! А по подробнее написать не сможете? Боюсь, что не соображу. Вот к примеру первый интеграл я разложил, как вы написали, а что дальше делать не знаю. Торможу.

Сейчас не обязательно. Мне к понедельнику.

[laplas_the_best]

Play в сообщении #432294 писал(а):

Исправил. Спасибо! А по подробнее написать не сможете? Боюсь, что не соображу. Вот к примеру первый интеграл я разложил, как вы написали, а что дальше делать не знаю. Торможу.

Сейчас не обязательно. Мне к понедельнику.

А вы напишите, что получилось, когда разложили!

[Play]

$\int \frac {x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}dx = \int \frac {x}{1-x^2} \cdot \frac {x}{1+x^2}dx$ правильно?

А в третем нельзя разделить на две дроби и во второй в чеслителе сделать скобку (x-2) вынесев 2 за скобку, после чего сократить с знаменателем..правда я не знаю к чему это приведёт.

И во втором я как-то не понял, что значит "разделить столбиком многочлены".

Я пятый пример исправил, как его начать решать?

[spaits]

Play в сообщении #432289 писал(а):

4.

Пример 4.
Знаменатель легко разделить на множители: $x^4+6x^2+8=(x^2+4)(x^2+2)$.
Затем разложить подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:
$\frac{x^3-6}{x^4+6x^2+8}$ $=\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$.

Пример 5.
Условие непонятно. Проверьте и исправьте.

[Play]

Пример 5 написан в точности с условием.

Спасибо за помощь! Очень признателен. Начинаю разбираться.

[laplas_the_best]

Цитата:

$\int \frac {x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}dx = \int \frac {x}{1-x^2} * \frac {x}{1+x^2}dx$[/math] правильно?

Правильно! Только лучше еще дальше разложить!

$\int \frac {x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}dx = \int \frac {x}{(1-x)(1+x)(1+x^2)}dx$

Следующая операция -- разложить на простейшие (это тоже самое, что приводить к общему знаменателю, только наоборот!)

$\frac {x}{(1-x)(1+x)(1+x^2)}=\dfrac{A}{1-x}+\dfrac{B}{1+x}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}$

Нужно привести к общему знаменателю то, что стоит справа.
Дальше необходимо найти $A,B,C,D$. Как - я расскажу, когда приведете к общему знаменателю!

Цитата:

А в третем нельзя разделить на две дроби и во второй в чеслителе сделать скобку (x-2) вынесев 2 за скобку, после чего сократить с знаменателем..правда я не знаю к чему это приведёт.

Сокращать можно только множители, а там сложение в числителе.

[spaits]

Play в сообщении #432289 писал(а):

5.

Пример 5.
Разделите каждое алгебраическое слагаемое числителя на знаменатель (степень на степень).
Получите алгебраическую сумму (разность) степенных интегралов с дробными показателями степени. Легкие интегралы.

[Play]

Цитата:

$\frac {A(1+x)(x^2+1)+B(1-x)(x^2 +1)+(Cx+D)(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x)(x^2+1)}$ ошибки есть?

[laplas_the_best]

Play в сообщении #432310 писал(а):

$\frac {A(1+x)(x^2+1)+B(1-x)(x^2 +1)+(Cx+D)(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x)(x^2+1)}$ ошибки есть?

Правильно, тогда получаем равенство.

$\frac {x^2}{(1-x)(1+x)(1+x^2)}=\frac {A(1+x)(x^2+1)+B(1-x)(x^2 +1)+(Cx+D)(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x)(x^2+1)}$

Знаменатели равны. А две дроби равны, если равны числители (при условии, если знаменатели равны).
Тогда нужно приравнять числители.

$x^2=A(1+x)(x^2+1)+B(1-x)(x^2 +1)+(Cx+D)(1-x)(1+x)$

Нужно раскрыть скобки и сгруппировать коэффициенты при одинаковых степенях.
т.е. $(....)x^3+(...)x^2+(...)x+...$

[spaits]

Play в сообщении #432289 писал(а):

3.

Пример 3.
Подынтегральное выражение делится на сумму пяти элементарных дробей. Там есть правила, как это делается, выучите правила.
$\frac{x^3-2x+4}{x^3(x-2)^2}=$ $\frac{A}{x^3}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x}+\frac{D}{(x-2)^2}+\frac{E}{x-2}$.

-- Чт апр 07, 2011 22:53:31 --

Play в сообщении #432310 писал(а):

ошибки есть?

Есть одна ошибка в примере 1.

laplas_the_best в сообщении #432313 писал(а):

Правильно, тогда получаем равенство.

Вы тоже не заметили. В левой части уравнения числитель дроби $x^2$, а не $x$.
Кроме того, я бы записала дробь в левой части как $\frac{-x^2}{x^4-1}$, изменив знаки в числителе и знаменателе дроби. Тогда в числителе имеем $-x^2$, а в знаменателе $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$, во всех знаменателях элементарных дробей $x$ со знаком $+$, не надо менять знак при интегрировании.

[laplas_the_best]

spaits в сообщении #432314 писал(а):

laplas_the_best в сообщении #432313 писал(а):

Правильно, тогда получаем равенство.

Вы тоже не заметили. В левой части уравнения числитель дроби $x^2$, а не $x$.

Да, не ждал ошибки на ровном месте=)

[spaits]

laplas_the_best в сообщении #432315 писал(а):

Да, не ждал ошибки на ровном месте=)

Я тоже. Пусть теперь порешает сам. Надеюсь, завтра покажет своё решение.

[Play]

так где там ошибка? степень не поставил или решение само не правильное?

$x^2=A-Ax+Ax^2+A+B-Bx+Bx^2+B+Cx-Cx^2+Cx+Cx^2+D-Dx+D+Dx;$

$x^2=2A-Ax+Ax^2+2B-Bx+Bx^2+2Cx+2D;$

$x^2=(A+B)x^2+(-A-B+2C)x+2(A+B+D);$

Я могу делать ошибки в самых простых местах. Вы уж строго не судите=)