Дифференциальное уравнение (+определение особого решения)

[Sverest]

задание найти частное решение д у $y''(1+y)-5(y')^2=0$ $y(1)=0;~y'(1)=1$

$y'=p~~y''=p'p$
$p'p(1+y)-5p^2=0$ $/p\neq 0$

$p'(1+y)-5p=0$
$(1+y) dp=5p dy$ $/5p(1+y) \neq 0$

$\frac{dp}{5p}=\frac{dy}{1+y}$

$\frac15 \ln{p} =\frac11 \arctg {\frac {\sqrt{y}}{1}}+C$

(Здесь от $C$ можно избавиться?)

$y'=p=e^{5 \arctg {{\sqrt{y}}}$

Как дальше решать?

[ИСН]

Откуда взялся арктангенс?

[Tlalok]

С каких это пор $\int {\frac{dy}{1+y}}=\arctg \sqr{y}$

[Sverest]

Из таблицы $\int {\frac{dx}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\arctg \frac{x}{a}+C$

[Tlalok]

А где Вы нашли квадрат в этом выражении $\int {\frac{dy}{1+y}}$?

[Jnrty]

Tlalok в сообщении #429970 писал(а):

С каких это пор $\int {\frac{dy}{1+y}}=\arctg \sqr{y}$

Sverest в сообщении #429974 писал(а):

Из таблицы $\int {\frac{dx}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\arctg \frac{x}{a}+C$

Где Вы там увидели $y^2$?

Sverest в сообщении #429957 писал(а):

(Здесь от $C$ можно избавиться?)

Нельзя.

[Sverest]

Тогда вопрос меняется, как взять такой интеграл?

$\int {\frac{dy}{1+y}}$

по частям?

[Tlalok]

Скажите, а чему равен такой интеграл $\int {\frac{dy}{y}}$?

[Sverest]

Tlalok в сообщении #429987 писал(а):

Скажите? а чему равен такой интеграл $\int {\frac{dy}{y}}$?

$\ln {y}+C$

[ИСН]

Ага, хорошо, двигаемся дальше. А вот такой: $\int(x+1)^3dx$ - чему?

[Sverest]

ИСН в сообщении #429990 писал(а):

Ага, хорошо, двигаемся дальше. А вот такой: $\int(x+1)^3dx$ - чему?

Я забыл как брать нетабличные интегралы

[Tlalok]

Хорошо, метод замены переменной Вы помните?

[Sverest]

Я посмотрел в учебнике похожий пример, будет так
$\int {\frac{dy}{1+y}}=\int {\frac{d(1+y)}{1+y}}=\ln |{1+y}|$

[ИСН]

Ну. Совсем другое дело ведь! Теперь это туда.

[Sverest]

$\frac15 \ln |p|=\ln |1+y| +C$
$y'=p=(1+y)^5+C_1$
$y''=5(1+y)^4$

Правильно?

PS: ой, мне же надо было другое найти