Квадратный корень из натурального числа.

[J-A-P-H]

Как доказать, что если число $n$ - натуральное, то число $\sqrt n$ - либо натуральное, либо иррациональное?

[mihailm]

по теореме о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами

[alex1910]

mihailm в сообщении #425662 писал(а):

по теореме о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами

Ну да, конечно. А высоту башни можно измерить, сбросив с нее барометр и измерив время падения.

Зачем предлагать человеку какую-то теорию, если задача элементарно решается "в лоб"?

[J-A-P-H]

Каким образом?

[Sonic86]

Любое положительное действительное число является либо натуральным, либо рациональным и не натуральным, либо иррациональным. Значит Вы можете доказывать, что если $\sqrt{n}$ является рациональным, то оно натурально.

[Day]

J-A-P-H в сообщении #425739 писал(а):

Каким образом?

Предположи, что $\sqrt n = \frac{p}{q}$ где p и q не имеют общих делителей и $q!=1$ И очень быстро получишь противоречие

AKM:

Day,
на форуме принято обращаться на Вы: "предположите", "получите", итп.

[J-A-P-H]

Day в сообщении #425770 писал(а):

J-A-P-H в сообщении #425739 писал(а):

Каким образом?

Предположи, что $\sqrt n = \frac{p}{q}$ где p и q не имеют общих делителей и $q!=1$ И очень быстро получишь противоречие

Вы ведь имели ввиду $q\ne1$? В любом случае, то, что $p^2=nq^2$ не значит, что у $p$ и $q$ есть общий делитель?

[J-A-P-H]

Хм.
Пусть $p$ и $q$ - взаимно простые, тогда НОК$(p;q)=pq$. $p^2$ делится на $q$ и $p^2$ делится на $p$, тогда $p^2$ - общее кратное чисел $p$ и $q$, следовательно $p^2$ делится на $pq$, следовательно $p$ делится на $q$. Получили противоречие. Отсюда $q=1$ и $\sqrt{n}$ - натуральное.
Так?

[Sonic86]

Да, можно так.

[J-A-P-H]

А как еще можно?

[Sonic86]

Например так: $p^2=nq^2 \Rightarrow q^2|p^2 \Rightarrow q|p$, а поскольку $\text{НОД}(p,q)=1$, то $q=1$.