Система двух линейных уравнений с параметром

[dnoskov]

Здравствуйте!
К своему стыду не могу понять что к чему

При каких значениях параметра $a$ система $\left\{ \begin{array}{l} ax+y=1,\\ 2ax-y=2, \end{array} \right.$

1. имеет единственное решение
2. не имеет решений
3. имеет бесконечное множество решений

И вроде всё понятно, но я туплю... Знач так:

1. система имеет единственное решение, если прямые пересекаются, т.е. $a \ne 2a \Rightarrow a \ne 0$
2. система не имеет решений, если прямые параллельны, т.е. $\left\{ \begin{array}{l} a=2a,\\ 1-ax \ne 2ax-2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=0,\\ 1 \ne -2 \end{array} \right. $, т.е. система не имеет решений при $a=0$
3. система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают, т.е. $\left\{ \begin{array}{l} a = 2a,\\ 1-ax = 2ax-2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0,\\ 1 = -2 \end{array} \right.$, пустое множество, стало быть таких $a$ не существует.

Однако, ответ в задачнике гласит, что система имеет бесконечно много решений при $a=0$, а такого $a$, чтобы система не имела решений не существует. И я бы не рыпался, ибо моё доверие к ответам в этом задачнике уже подорвано. Но какое-то чувство имеется (в смысле "а может я чего не так сделал?").

РаЗсудите, пожалуйста.

[ShMaxG]

dnoskov в сообщении #424425 писал(а):

система имеет единственное решение, если прямые пересекаются, т.е. $a \ne 2a \Rightarrow a \ne 0$

Верно. И таким образом осталось рассмотреть один единственный случай: $a=0$. Подставляйте. Совершенно очевидно, что получаем несовместную систему. Значит решений нет. Все, все возможные случаи рассмотрены. Т.е. тут логика не в том, чтобы для каждого пункта найти свои $a$, а для каждого $a$ посмотреть на решения системы.

[Tlalok]

dnoskov
А Вы не пробовали применить к анализу системы понятия линейной алгебры, например, определитель.
Вы все верно решили.

[Someone]

dnoskov в сообщении #424425 писал(а):

если прямые пересекаются, т.е. $a \ne 2a \Rightarrow a \ne 0$

Боюсь, что должно быть написано $a\neq-2a$, хотя результат тот же самый - $a\neq 0$.
А вообще, условие параллельности прямых $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$... Какое?

dnoskov в сообщении #424425 писал(а):

а может я чего не так сделал?

Да всё правильно, по модулю оказавшейся несущественной ошибки.

[dnoskov]

Someone

Цитата:

А вообще, условие параллельности прямых $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$... Какое?

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2},\\ \frac{C_1}{B_1} \ne \frac{C_2}{B_2} \end{array} \right.$$

.... да, ну, и, вобщем, благо дарю всем Успокоили.