Уравнение с бесконечной лестницей степеней x^x^x^x... = 3

[jrMTH]

Нужно найти x, если

$x^{x^{x^{...}}} = 3$

Как это решается? Какая методика используется для решения?

[Petr88]

Поробуйте прологарифмировать по основанию 3

-- Пт мар 18, 2011 05:45:05 --

ответ 3 в степени (1/3) или я что-то не так решил...
Если степени до бесконечности, то вроде бы так.

[myra_panama]

пусть
$x^{x^{x^{...}}} = a$
прологарифирумуем по основанию а

$$x^{x^{x^{...}}} \log\limits_a x =1 $$

$$a\log\limits_a x =1$$

далше....

[Petr88]

По основанию 3

[myra_panama]

Petr88 в сообщении #424140 писал(а):

По основанию 3

там надо подставить a=3 и все...

[Евгений Машеров]

Икс в степени... А показатель степени - эта самая бесконечная лестница. Которая, по условию, равна 3.
То есть на самом-то деле уравнение вида $x^3=3$

[jrMTH]

Евгений Машеров в сообщении #424168 писал(а):

Икс в степени... А показатель степени - эта самая бесконечная лестница. Которая, по условию, равна 3.
То есть на самом-то деле уравнение вида $x^3=3$

Я вот одного не пойму: ведь вы получается из уравнения убрали один x чтобы получить 3, который возводится во все остальные степени.
Разве так можно? Почему?

[ИСН]

Чему равно $x^{x^{x^{...}}}$? Известно ли это?
Так. А теперь: в какую степень возводится x в левой части уравнения?
А теперь ещё раз первый вопрос.

[jrMTH]

ИСН в сообщении #424193 писал(а):

Чему равно $x^{x^{x^{...}}}$? Известно ли это?
Так. А теперь: в какую степень возводится x в левой части уравнения?
А теперь ещё раз первый вопрос.

я думаю что в левой части уравнения x будет возводится в степень на один x меньше.
или если от бесконечности возведения убрать x, все равно будет бесконечность?

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #424168 писал(а):

Икс в степени... А показатель степени - эта самая бесконечная лестница. Которая, по условию, равна 3.
То есть на самом-то деле уравнение вида $x^3=3$

Это действительно очевидно. Но, между прочим, неверно. Правильный ответ: решения не существует. В качестве подсказки: попытайтесь честно подсчитать, чему фактически равняется $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$ при $x=\sqrt[3]{3}$.

[jrMTH]

ewert в сообщении #424207 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #424168 писал(а):

Икс в степени... А показатель степени - эта самая бесконечная лестница. Которая, по условию, равна 3.
То есть на самом-то деле уравнение вида $x^3=3$

Это действительно очевидно. Но, между прочим, неверно. Правильный ответ: решения не существует. В качестве подсказки: попытайтесь честно подсчитать, чему фактически равняется $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$ при $x=\sqrt[3]{3}$.

А как доказать что решения не существует тогда? Ведь просто нельзя вот так вот сказать что его нет. Правильно?
Вообще, я думаю, решение существует, раз уж мы до бесконечности что-то возводим... вопрос в том как математически правильно написать решение.

[ewert]

jrMTH в сообщении #424212 писал(а):

А как доказать что решения не существует тогда?

Во-первых, заменить $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$ на $a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$ (чтобы не путаться в буковках). Во-вторых, это выражение может иметь только один смысл -- предел конечных таких степенных цепочек при условии, что количество буковок стремится к бесконечности. Т.е., собственно, предел рекуррентной последовательности $t_{n+1}=a^{t_n}$ с начальным условием $t_1=a$. Так вот и надо выяснить, при каких значениях $a$ эта последовательность сходится и чему равняется максимальное значение её предела по всем допустимым значениям $a$. (В конце концов оказывается, что предел не может оказаться больше, чем $e$.)

[ИСН]

Чёрт, да, там же эта самая Power Tower. Вот же ж блин.

[ewert]

Да, кстати, а при $a=\sqrt[3]{3}$ получается $a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2.47805268028830$ (пятнадцать знаков стабилизируются где-то после 330 итераций).

[jrMTH]

О! Нашел теорию вроде
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html